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多变量微积分期末复习题.pdf

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清 华 大 学本科 生考 试试 题 专 用 纸 班级 姓名 学号 4 10 40 一、填空题(每题 分,共 题, 计 分) 1. 函数f (x,y,z) =x2 + 2y2 + 2z2 在点(1,1,1) 处最大的方向导数为 . 答案:6 2.设Σ= {(x,y,z) x + y +z = 1,x ≥ 0,y ≥ 0,z ≥ 0} ,则 ( )d . ∫∫ y +z S = Σ 3 答案: . 3 3. 已知 D = (x, y) 0 ≤x ≤1,0 ≤ y ≤1 .若函数 具有连续偏导数,且 f x , { } f (x,y ) ( ,1) = 0 f (x,y) ∂ f x y x y ,则 ∫∫ ( , )d d = 2 ∫∫y dxdy = . D D ∂y 答案:−2 4. 设 2 2 2 2 2 2 Ω= x y z x + y + z ≤ z ≥ ,则 {( , , ) 1, 0} ∫∫∫( x + y + z + z)dxdydz = . Ω 3π 答案: 4 5.若 = xy + + xy ,且f ,则 df (x,y) e (y sinx cosx)dx xe sinxdy (0,0) =1 f (x,y ) = . 答案:exy sin x +1 6.设 ( , , ) = 2 3 ,则 f x y z xy z gradf (x,y,z) = ; (1,1,1) div[gradf (x,y,z)] = . (1,1,1) 答案: ; i+ 2 j+3k 8 x y z  + + = 0,  7. 设有向曲线 的方程为 方向是从 轴的正向往原点看去为逆时针方向,则 L  2 2 z
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