高等数学复习(三重积分).ppt

第九章 重积分习题课 (二) 三 重 积 分 * 一、三重积分的概念 1．定义: 2．物理意义: 的空间物体 的质量。 表示体密度为 二、三重积分的性质 1.线性性质： 2.可加性： 4. 单调性：若 在上， ，则 5．估值性质： 的体积，则在 上至少存在一点 ，使得 3. 的体积： 7. 中值定理：设函数 在闭区域 上连续， 是 , 则 三、三重积分的计算方法 1．利用直角坐标计算 (1) “先一后二”法 则 (2) “先二后一”法 其中 是竖坐标为 的平面截 闭区域所得到的一个 平面闭区域，则 若 为 在 面上的投影区域 若 2．利用柱面坐标计算 若 则 3．利用球面坐标计算 若 则 四、三重积分的应用 (1)质量 (2)质心 ， ， (3)转动惯量 1．几何应用 2．物理应用 空间立体 的体积 五、三重积分的解题方法 计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标 三种坐标计算。通常要判别被积函数 和积分区域 所具有的特点。如果被积函数 积分区域 的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果 被积函数 ，则可采用先二后一法计算；如果 被积函数 ，积分区域 为柱或 的投影 是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备， 则采用直角坐标计算。三重积分计算的解题方法流程图如下： 利用球面极坐标计算 先一后二的方法 Yes No No Yes 转化为三次积分 先二后一的方法 求D1及截面面积 求 确定 上顶曲面 下顶曲面 为柱 或 投影为圆域 投影为圆域 利用柱面坐标计算 确定 上顶曲面 下顶曲面 利用直角坐标计算 Yes No 1 2 3 11 12 解题方法流程图 分析 由于积分区域是由四个平面所围成的四面体，故本题应 考虑利用直角坐标计算；即按照框图中线路1 11的方法计算。 解: （如图）在平面 上的投影域 . 的上顶曲面 为 ， 即 ： 。 【例1】 计算三重积分 。其中 为平面 ， ， ， ，所围成的四面体。 下顶曲面 为 。 于是，得 六、典型例题 【例2】 计算三重积分 。其中 是由曲面 与平面 ， 及 所围成的闭区域。 分析 由于积分区域和被积函数不具有利用“先二后一”、 柱面 坐标和球面坐标计算的特点，所以，本题考虑利用直角坐标 来计算，即按照框图中线路1 11的方法计算。 解: (1) 求 （如图）在平面 上的投影区域为 (2) 确定上顶曲面 及下顶曲面 。 (3) 转化为先对 后对 的三次积分计算： 因为当 时满足 ， , 。因此 【例3】 计算三重积分 。其中 是由曲面 及平面 所围成的闭区域。 分析 由于积分区域 在 坐标面上的投影区域为圆域 且被积函数中含有 ，所以可采用柱面 坐标计算，即按照框图中线路1 12的方法计算比较简单。 解：积分区域 的如图所示。 在柱面坐标下 故有 【例4】计算三重积分 . 其中 是由锥面 与平面 所围成的闭区域。 被