高等数学定积分..ppt

定积分的概念与性质 微积分基本定理 定积分的换元法与分部积分法 反常积分 定积分的应用 5.1.1 三个引例 解决步骤 : 3) 积零为整. 5.1.2 定积分的定义 小结 * G.F.B.Riemann(1826-1866) 第五章 定积分（The Definite Integral） a b x y o 实例1 （求曲边梯形的面积） 5.1 定积分的概念 a b x y o a b x y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形） 1) 化整为零. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 用直线 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 分割 2) 局部以常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以 为底 , 为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 近似 4) 取极限消除误差. 令 则曲边梯形面积 求和 取极限 实例2 （求变速直线运动的路程） 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． （1）分割 部分路程值 某时刻的速度 （3）求和 （4）取极限 路程的精确值 (2) 近似 实例3 （求非均匀细棒的质量） （1）分割 （3）求和 （4）取极限 质量的精确值 ( 2 ) 近似 上述三个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同 : “分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 定义 被积函数 被积表达式 积分变量 记为 积分上限 积分下限 积分和 注意： 例1 利用定义证明 解 定理1 常用到的一些结论 定理2 例2 利用定义计算定积分 分析： 由定积分的定义知 解 定理4 定理3 1 对可积函数变动有限个点的值, 可积性不变, 积分值不变. 2 定理4的条件不是必要条件. 注 例 黎曼函数 当 为既约分数 时， 当 为 中的其它点时 黎曼函数在[0,1]上所有有理点处不连续; 结论： 而在[0,1]上所有无理点连续, 但可以证明 R (x) 在[0,1]上可积. 则 R (x) 有无限 个不连续点， 例3 证明定积分 证明 由定义知该定积分不存在 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值 定积分的几何意义 故 利用定积分几何意义计算积分 例4 解 令 １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 求和 积零为整 取极限 精确值——定积分 化整为零 分割 直（不变）代曲（变） 近似 思考题 将和式极限： 表示成定积分. 思考题解答 原式