高等数学上反常积分.ppt

上页 下页 结束 返回 首页 3. 几个公式 1. 定积分的换元法 复习 “换元要换限” 2. 定积分的分部积分公式 为正偶数 为大于1的正奇数 二、无界函数的反常积分 第四节 常义积分 积分限有限 被积函数有界 推广 一、无穷限的反常积分 反常积分 (广义积分) 反常积分 第五章 一、无穷限的反常积分 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 定义1. 设 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 则定义 则定义 ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 并不是待定型 , 说明: 上述定义中若出现 它表明该反常积分发散 . 引入记号 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : 例1. 计算反常积分 解: 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 . P256-1 例2. 计算反常积分 解: P256-2 例3. 证明p 积分 证: 当 p ≠ 1 时有 当 p 1 时收敛 ; p≤1 时发散 . 因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为 当 p≤1 时, 反常积分发散 . P257-3 当 p =1 时有 二、无界函数的反常积分 引例:曲线 所围成的 与 x 轴, y 轴和直线 开口曲边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 定义2. 设 而在点 a 的右邻域内无界, 存在 , 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 而在 b 的左邻域内无界, 若极限 数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作 则定义 则称此极限为函 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明: 而在点 c 的 无界函数的积分又称作第二类反常积分, 无界点常称 邻域内无界 , 为瑕点(奇点) . 例如, 间断点, 而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义 注意: 若瑕点 的计算表达式 : 则也有类似牛 – 莱公式的 若 b 为瑕点, 则 若 a 为瑕点, 则 若 a , b 都为瑕点, 则 则 可相消吗? 下述解法是否正确: , ∴积分收敛 例4. 计算反常积分 解: 显然瑕点为 a , 所以 原式 例5. 讨论反常积分 的收敛性 . 所以反常积分 发散 . 解: P258-4 P259-5 例6. 证明反常积分 证: 当 q = 1 时, 当 q 1 时收敛 ; q≥1 时发散 . 当 q≠1 时 所以当 q 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 . P259-6 内容小结 1. 反常积分 积分区间无限 被积函数无界 常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分 说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互相转化 . 例如 , (2) 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间, 分别讨论每一区间上的反常积分. 思考题 1. 积分 的瑕点是哪几点？ 2. 试证 , 并求其值 . 思考题 1.积分 的瑕点是哪几点？ 思考题解答 积分 可能的瑕点是 不是瑕点, 的瑕点是 2. 试证 , 并求其值 . 解: 令 P260 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2 ; 作业 P260 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; ; 提示: P260 题2 求其最大值 . 作业 例7. 解： 求 的无穷间断点, 故 I 为反常 积分. * 高等数学（同济六） 5.4 反常积分 * 例如, L. P178 例13 高等数学（同济六） 5.4 反常积分 5.4 反常积分 高等数学（同济六） 5.4 反常积分 上页 下页 结束 返回 首页 * 高等数学（同济六） 5.4 反常积分 * 例如, L. P178 例13 高等数学（同济六） 5.4 反常积分