高等数学5.4反常积分(广义积分).pdf

§4. 反常积分（广义积分） 一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分 n b 定积分： lim ( f) x   f x (dx) i i (正常积分） a 0 i 1 (1) [a,b] (2) f (x) 为有界函数. 要求： 为有限区间； 1 引例1 求曲线 y ( 1)x 与x 轴之间图形的面积S. 2 x A 1 1 A 1 S   dx  1 A 1 2 x x 1 A 1 S limS A lim 1   A A 1 A  自然地，记 S  1 dx lim A 1 dx  1 x 2 A 1 x 2 一、无穷限的反常积分 b （1）[a,b] 为有限区间； a f (x )dx 正常积分要求： （2 ）f (x) 为有界函数.  1 A 1 S 1 2 dx lim 1 2 dx x A  x 定义1 (f )x [ , )a  在区间 连续， b a 设函数 上 取  b f x (dx) f x (dx) 记 a lim a b (f )x [ , )a  上的反常积分 称此极限为函数 在无穷区间 当极限存在时， 称反常积分收敛； 当极限不存在时 称反常积分发散. ， 一、无穷限的反常积分 定义1 (f )x [ , )a  b a 设函数 在区间 上连续，取  b f x (dx) lim