2025年印度数学奥林匹克竞赛试题.docx

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2025年印度数学奥林匹克

程国根译

第一天

1.数列{an}定义如下：a?=2,a?=3,且对任意正整数k,

·a?k+1=2+2ak,a?k+2=2+ak+ak+1

·

求所有正整数n,使得

为整数.

2.设n≥2为正整数.黑板上写有整数1,2,…,n.在一次操作中，爱丽丝可以

黑板上两个不

同的整数a和b,满足a+b为偶数，然后从板上擦去a和b,并在黑板上写上

来代替.求

所有正整数n,使得爱丽丝能够通过一系列操作，令最终黑板上只剩下一个数.注：当n=3时，爱丽丝将(1,2,3)变为(2,2),然后就不能再进行任何操作了.

3.欧几里得有一个叫做“分割器”的作图工具，它只能进行以下两种操作：·对已作出的不共线三点X,Y,Z,作出∠XYZ内角平分线所在直线.·作出两条已作出的不平行直线的交点.

起初，平面上只有A,B,C三点.求证：欧几里得可以使用若干次分割器，作出△ABC的外心.

第二天

4.设正整数n≥3.求tn的最大值(用n表示),使得对于任意实数a?,a?,…,an,都有不等式

max(|a?+a?|,|a?+a?|,…,|an-1+an|+|an+a?|)≥tn·max(|a?|,|a?|,…,|an|).

5.贪婪的妖精拉环有一个正2000边形，其每个顶点处都有一枚硬币。在一次操作中，他选择一个顶点，从其两个相邻顶点各取走一枚硬币，并给所选顶点增加一枚硬币，同时将剩余的一枚硬币据为己有。只有当相邻的两个顶点都至少有一枚硬币时，他才能进行这样的操作。拉环只有在无法再进行操作时才会停止。他最多和最少能收集到多少枚硬币?

6.设正整数b≥2.阿努拥有无穷多的纸币，对于任意整数k≥1,都恰好有b-1张面值为b*-1卢比的纸币.若阿努能够用她的某些纸币恰好凑出n2+1卢比，则称正整数n为可支付数.证明：若存在一个可支付数，那么就存在无穷多个可支付数.