2025年越南数学奥林匹克竞赛试题.docx

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2025年越南数学奥林匹克

程国根译

第一天

1.设P(x)=x?-x3+x.

(1)求证：对任意正实数a,多项式P(x)-a有唯一正根.

(2)数列{an}定义如下：且对任意n为P(x)-an的唯一正根.求证：数列{an}收敛，并求出{an}的极限.

2.对任意n∈N,记u=(2+√5)+(2-√5)

(1)求证：对任意n∈N,un均为正整数.当n变化时，求un除以24的最大余数.

(2)求所有正整数对(a,b),满足a,b500,且对任意奇数n,都有un=a-bn(mod1111).

3.不等边的锐角△ABC的外心为O,垂心为H.AH再次交

◎(ABC)于点D.设AB,AC的中点分别为F,E.过点H作HF的垂线交BC于点K,DK再次交◎(ABC)于点Y.

(1)求证：BK的中垂线与BY的交点在◎(YFO)上.

(2)过H作HE的垂线交BC于点L,LD再次交◎(ABC)于点Z.ZB交OE于点M,CY交OF于点T,CZ交YB于点P.过T作AO的垂线d,求证：d平分AP.

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第二天

4.在不等边的锐角△ABC中，AD,BE,CF为三条高，点H,O,I

分别为垂心、外心、内心，点M,N,P分别为三边BC,CA,AB的中点，X=AI∩NP,Y=BINPM,Z=CINMN.

(1)求证：◎(AXD),o(BYE),o(CZF)共根轴OH.

(2)直线XP,YM,ZN分别与◎(AXD)◎(BYE)o(CZF)再次相交于点X,Y,Z.设J是I关于O的对称点.求证：X,Y,Z在一条垂直于HJ的直线上.

5.考虑一个3k×3k的正方形网格(其中k为正整数),网格中的单元格通过列和行来定位：单元格(i,j)是从左到右数第i列，从下往上数第j行。在网格的单元格中放置4k颗弹珠，每个单元格最多放置一颗弹珠，使得：

●每行和每列至少有一颗弹珠。

●对于每颗弹珠，在同一行或同一列上有另一颗弹珠。

(1)假设k=1.求满足题意的放置方法数(如果存在一个单元格(i,j)在一种放置方法中有弹珠，而在另一种放置方法中没有弹珠，那么这两种放置方法是不同的)。

(2)假设k≥1.求最大的正整数N,使得在任意标记网格上的N个单元格后，总存在一种满足题意的放置方法，且弹珠不会放置在任何被标记的单元格上。

6.非负实数a,b,c满足a+b+c=3.求证：√3a3+4bc+b+c+√3b3+4ca+c+a+√3c3+4ab+a+b≥9.