2025台湾地区数学奥林匹克（TMO）竞赛试题.docx

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26.12025年台湾数学奥林匹克(TMO)

(2025年2月5日)

时长：4小时.

分值：每题7分，满分35分.

Problem1.GiventriangleABC,letI,J,Ibeitsincenter,theexcenterwithrespecttoA,andcircumcircle,respectively.LetAbetheantipodalpointofAonT,andMbethemidpointofthearcBAConI.LetXbethereflectionofAacrossA,andYbethereflectionofAacrossM.ProvethatI.JXYareconcyclic.

题1.设三角形ABC的内心为I,角A所对的旁心为J,外接圆为T.令A为A在T上的对径点，M为T上弧BAC的中点.设点A关于点A和点M的对称点分别为X和Y证明：I,J,X,Y四点共圆.

Problem2.Leta,b,c,dbefourpositiverealssuchthatabc+abd+acd+bcd=1.Determineallpossiblevaluesfor

(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc).

题2.设正实数a,b,c,d满足abc+abd+acd+bcd=1,试确定

(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)

的所有可能值.

Problem3.Foranypairofcoprimepositiveintegersaandb,definef(a,b)tobethesmallestnonnegativeintegerksuchthatbdividesak+1.Provethatifaandbarecoprimepositiveintegerssatisfying

f(a,b)-f(b,a)=2,

thenthereexistsaprimenumberpsuchthatp2dividesa+b.

题3.对任意一对互质的正整数a和b,定义f(a,b)为使得b整除ak+1的最小非负整数

k.证明：若a与b是互质的正整数，且满足

f(a,b)-f(b,a)=2,

7626.台湾(TAIWAN)

则存在质数p,使得p2整除a+b.

Problem4.Findallpositiveintegersnsatisfyingthefollowingconditions:thereisawaytofillin1,2,…,n2intoann×ngridsothateachcellhasexactlyonenumber,eachnumberappearsexactlyonce,and:

·Forallpositiveintegers1≤in2,iandi+1areneighbors(twonumbersare

·

neighborsifandonlyiftheircellsshareacommonedge).

·Anytwonumbersin12,22,…,n2arenotinthesameroworsamecolumn.

·

题4.求所有满足以下条件的正整数n:存在一种将1,2,…,n2填入n×n方格表中的方

法，使得每格恰有一个数字，每个数字恰出现一次，并满足

(1)对所有