数学奥林匹克竞赛试题.doc

数学奥林匹克竞赛试题（一） 在数列中，，且 ，求 在数列中，且，求 数列满足且，求 已知数列满足， 其中a,b是给定的正实数，求 在数列中且,求 已知数列满足求 数列为正数列，且，求 数列中，，求 已知数列，中， （1）求 （2）求 10、在数列和中，且 求， 数学奥林匹克竞赛试题（二） 若数列中，,求 设求证： 求所有，使得由所确定的数列，是递增的。 设，且且求证：对一切非负整数n，有。 实数满足： 证明：。 6、，数列满足，且对于是否总有。 否存在，使得一个无穷正数列满足。 对给定的，定义满足证明这个数列中有无穷多个非正项。 在数列中。，，。证明对任何正整数和，分式不可约。 证明：若数列满足 则每一项都是自然数，且当为偶数或奇数时分别有形式或。 数学奥林匹克竞赛试题（三） 1、设，，问a,b,c为何值时，？ 2、设多项式 求证：。 3、能否找到这样的实数，使等式 对任何成立. 4、证明：多项式是首项为2的二次三项式的平方的冲要条件是。 5、证明：当时，k次多项式 的值总是正的。 6、求满足：的二次函数 7、给定多项式。证明，对每一个，至多有一个 n次多项式，使得。 8、设实系多项式 满足， 其中为一实数，若， 求证： 9、假设二次三项式可变换成或，试问能否借助有限次这样的变换由得？ 10、求证：任何多项式可以表示成两个递增多项式之差。 数学奥林匹克竞赛试题（四） 对于给定实数，方程有四个虚根，其中两根的积为，另两根的和是，求。 已知是方程的三个根，且都是有理数， 求。 3、证明：对任意非零的，多项式的根满足 4、求方程的全部解的199次幂的和。 5、若，求证：实系数方程必有虚根。 6、设多项式有个实根，且系数都是非负数，证明： 7、解方程组 8、证明；实系数多项式的根不可能全是实数。 9、如果和是方程的两个根。求证：是方程的一个根。 10、已知方程的三根都是实数，证明：是一个三角形的三条边长的冲要条件是。 数学奥林匹克竞赛试题（五） 1、设为（十进制）的各位上数字之和。试求 2、已知函数，求。 3、设。证明，存在正整数，使能被1988整除。 4、设求 5、设求,求 设, 及, 求及 7、证明存在定义在上的函数，使. 8、对，求证：对所有非负整数和时，有。 9、设是定义在实数集上的实值函数。试证明； 若只有惟一的不动点，则也只有惟一的不动点。 若有且仅有两个不动点，那么只有两种可能： (i) 是的不动点 (ii) ,. 已知为多项式，求证：. 数学奥林匹克竞赛试题（六） 1、在的方格中，随意写上或，然后将每格中的数用所有与它相邻的格（有公共边的格）中的数的积来代替。求证：经过若干次这样的“变换”以后，所有方格中的数都是。 2、在黑板上写下n个数，每次允许擦掉任意两个数，例如a和b换成。这样的运算重复次，结果在黑板上只剩下一个数。证明：若开始时在黑板上写的是n个1，则最后留在黑板上的数不小于. 微型计算器只能完成如下两种四位数的运算： （i）由得 （ii）由得 问能否用计算器由得? 4、在黑板上写了3个整数，然后擦去其中一个，并代之以剩下的两数之和与1的差，重复这个步骤若干次，最后得到了数17,1967,1983，问：最初在黑板上写的数能否是以下的数： （1）2,2,2 （2）3 ,3,3 5、在完全平方数的序列中是否含有无穷等差子序列？ 6、在一张的格子纸中有80个格子是黑的，其余是白的。某行（或列）中黑格如过半数。则将该行（或列）中格子全部染黑。证明：最后不可能将全部格子染黑。 7、m个盒子，每个盒子中有一些球，球数不一定相等。n是小于m的正整数，选n个盒子，并在这些盒子中各放进1个球，称为一次“运算”。证明： （1）如果m与n互质，可以施行有限多次运算，使得盒子中的球数全部相等； （2）如果m与n不互质，试举出一种情况，无论施行多少次运算，都不能使盒子中的球数全部相等。 8、棋盘上撒布n克面粉，使得没行，每列的重复都是1克，求证：可以安排k个人，第I人从不同的n个小方格中各取走克面粉(i =1,2,…,k),最后恰好将原来棋盘上的面粉全部取走。 9、沿一个圆周放着若干堆小球，每堆小球的个数都是3的倍数，但各堆球数不必相等，现在按下列规则调整各堆的球数：把各堆小球三等分，本堆留一，其余两份分别放到左、右相邻的两堆中；如果某堆小球数目不是3的整数倍时，可从备用布袋中取出一球或两球放入，使该堆球数是3的整数倍，然后按上法继续调整。试证明：经过有限次调整之后，各堆小球个数相等。 设S是n元集，对每个，对应一个集合，使，且若，则。现在进行下述游戏：首先给S中每个元素染上白色，然后每次可以任取一个，将中所有元