二阶线性微分方程解的结构.doc

第六节 二阶线性微分方程解的结构 内容分布图示 ★ 二阶线性微分方程的概念 二阶线性微分方程的解的性质 ★ 定理1 ★ 函数的线性相关与线性无关 ★ 定理2 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例1 ★ 解线性微分方程的降阶法 ★ 例2 ★ 常数变易法 ★ 例3 ★ 线性微分方程的解法小结 ★ 例4 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题12—6 ★ 返回 内容要点： 一、二阶线性微分方程解的结构 二阶线性微分方程的一般形式是 ， (6.1) 其中、及是自变量的已知函数，函数称为方程(6.1)的自由项. 当时, 方程(6.1)成为 ， (6.2) 这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程(6.1)称为二阶非齐次线性微分方程. 定理1 如果函数与是方程(6.2)的两个解, 则 (6.3) 也是方程(6.2)的解，其中是任意常数. 定理2 如果与是方程(6.2)的两个线性无关的特解，则 就是方程(6.2)的通解，其中是任意常数. 定理3 设是方程(6.1)的一个特解，而是其对应的齐次方程(6.2)的通解，则 (6.4) 就是二阶非齐次线性微分方程(6.1)的通解. 定理4 设与分别是方程 与 的特解，则是方程 (6.5) 的特解. 定理5 设是方程 (6.6) 的解，其中为实值函数，为纯虚数. 则与分别是方程 与 的解. 二、二阶变系数线性微分方程的一些解法 对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的. 这里我们介绍处理这类方程的两种方法. 一种是利用变量替换使方程降阶——降阶法；另一种是在求出对应齐次方程的通解后，通过常数变易的方法来求得非齐次线性方程的通解——常数变易法. 对于二阶齐次线性方程, 如果已知其一个非零特解, 作变量替换, 就可将其降为一阶齐次线性方程, 从而求得通解. 并有下列刘维尔公式 三、 常数变易法 在求一阶非齐次线性方程的通解时, 我们曾对其对应的齐次方程的通解, 利用常数变易法求得非齐次方程的通解. 这种方法也可用于二阶非齐次线性方程的求解. 设有二阶非齐次线性方程 (6.10) 其中在某区间上连续, 如果其对应的齐次方程 的通解已经求得, 那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解. 设非齐次方程(6.10)具有形如 (6.11) 的特解, 其中是两个待定函数, 将上式代入原方程从而确定出这两个待定函数. 例题选讲： 例1 已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解： （1）求此方程的通解； （2）写出此微分方程； （3）求此微分方程满足的特解. 降阶法 例2（讲义例1）已知是方程的一个解, 试求方程的通解. 常数变易法 例3（讲义例2）求方程的通解. 例4（讲义例3）求方程的通解. 课堂练习 1.下列函数组在其定义域内哪些是线性无关的? 2.给出n阶线性微分方程的n个解, 问能否写出这个微分方程及其通解? 3.已知是齐次方程的解, 求非齐次方程的通解.