5 二阶线性微分方程解的结构及通解性质.ppt

§6 二阶线性微分方程解的性质与通解结构 二阶线性微分方程的概念 二阶线性齐次微分方程解的性质与通解的结构 二阶线性非齐次微分方程解的性质与通解结构 常数变易法 一. 二阶线性微分方程的概念 定义1： 二. 二阶线性微分方程解的性质 与通解的结构 设有二阶线性齐次微分方程 定理1 定义2 对高阶线性齐次方程，有类似定理： 三. 二阶线性非齐次微分方程 解的性质与通解的结构 定理4 设 是非齐次方程 例1 证明：如果 和 是 的两个线性无关解，则 是对应齐次方程的解。已知二阶线性非齐次方程的3个特解为 求该方程满足初始条件 的特解。 * * (2) 关于(2)的解，我们有： 都是方程(2)的解， 线性齐次方程的解具有可叠加性。 说明: 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 成立，则称此 n 个函数在 I 内线性相关， 否则线性无关。 例如， 在(?? , ?? )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关. 特别地: 两个函数在区间 I上线性相关与线性无关的充要条件: 线性相关 存在不全为 0 的 使 ( 无妨设 线性无关 常数 思考: 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关 (证明略) 线性无关 Dec.15 Wed. Review 1. 二阶线性微分方程 (2) 定理1 若 是方程(2)的解， 则它们的任意组合： 都是方程(2)的解，其中 为任意常数。 2. 线性齐次方程的解具有可叠加性 3. 线性相关与线性无关 成立，则称此 n 个函数在 I 内线性相关，否则线性无关。 定理2 定理3 若 是n阶线性齐次方程 其中 为任意常数。 的n个线性无关的特解，则它的通解为： 的一个特解， 为对应的齐次方程的通解，则 为非齐次方程的通解。 证明： 由假设知： 例 已知 是对应齐次方程的通解， 容易验证： 故该方程的通解为， 为该方程的一个特解. 证明： 要求出非齐次方程的通解，须先构造齐次方程的通解. 只有零解。 故得齐次方程的两个线性无关的特解，非齐方程的通解为： 例2. 已知微分方程 个解 求此方程满足初始条件 的特解 . 解: 是对应齐次方程的解, 且 常数 因而线性无关, 故原方程通解为 代入初始条件 故所求特解为 有三 解的叠加原理