求微分方程的通解.doc

例1．求微分方程的通解。 解：，分离变量，两边积分： 记，方程通解为：。 :注：事实上，，积分后得：，。 例2．求微分方程满足初始条件的特解。 解：分离变量：，两边积分：， 方程的通解为：。初始条件，则，，所求特解：或 例3．设（）连续可微且，已知曲线、轴、轴上过原点及点的两条垂线所围成的图形的面积值与曲线的一段弧长相等，求。 解：由条件：，两边求导得，即，或~~可分离变量的微分方程 积分得： 又，则；所求特解为：，或 或 例4．求微分方程的通解。 解：~~~~齐次方程，令：，，带入方程 ，，，积分得 ，， ， ，将代回，得原方程的通解：，即。 例5．求微分方程满足的特解。 解：~~齐次微分方程，代换，，，~~可分离变量的微分方程； ；即原方程的通解：。 利用初始条件，可得，所求特解为：。 例7．求微分方程的通解。 解：令：，则，带入方程：，，，积分得：，，通解。 例8．求微分方程的通解。 解：，令：，则，即：~~~~齐次方程，令：，， 代入方程：，~~可分离变量 ，积分得：，， ，，，原方程的通解为： 例9．求微分方程的通解。 解：将方程变形为：，即 ， ，即 若采用带换，则方程变形为：，，积分得：，或，即为通解。 例1．求微分方程的通解。 解：方程化为标准方程：；，，则方程的通解为 例2．求微分方程在时的特解。 解：将原方程化为标准方程：~~线性非齐次方程。其中，， 由初始条件，，，满足初始条件的特解为。 注：对于方程，其线性齐次方程的通解为；观察可得线性非齐次方程的一个解为，从而可以直接得到线性非齐次方程的通解：。 例3．求解微分方程。 解：显然此方程关于不是线性的，若将方程改写为：或，或关于是线性的，，此时未知函数为。利用例2的结论可知方程的通解为：。 注：在一阶微分方程中，和的地位是对等的，通常视为未知函数，为自变量；为求解方便，有时也视为未知函数，而为自变量。求解某些微分方程时，需要特别注意。 例4．设是微分方程的一个解，求此微分方程满足初始条件的特解。 解：将代入方程，得：，则；对应的一阶线性微分方程为：，即，，，原方程的通解为： 由，得，即，；所求特解为 4