D第六章多元函数微分学.ppt

山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 第六章 多元函数微分学 第一节 多元函数的基本概念 第二节 多元函数的微分法 第三节 多元函数微分学的应用 一、平面点集 n维空间 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 第一节 多元函数的基本概念 一、平面点集 n维空间 1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合? 称为平面点集?记作 E?{(x? y)| (x? y)具有性质P}? 例如? 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是 C?{(x? y)| x2?y2r2}? 或C?{P| |OP|?r}? 其中P表示坐标为(x? y)的点? |OP|表示点P到原点O的距离 2. 邻域 点集 称为点 P0 的?邻域. 例如,在平面上, (圆邻域) 说明：若不需要强调邻域半径? ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为 在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. 3.内点 外点 边界点 内点? 如果存在点P的某一邻域U(P)? 使得U(P)?E? 则称P为E的内点? 外点? 如果存在点P的某个邻域U(P)? 使得U(P)?E??? 则称P为E的外点? 边界点? 如果点P的任一邻域内既有属于E的点? 也有不属于E的点? 则称P点为E的边点? 边界点 内点 外点 聚点 有E中的点? 则称P是E的聚点? D 4. 开区域及闭区域 ? 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； ? 若点集 E ??E , 则称 E 为闭集； ? 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , ? 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 则称 D 是连通的 ; ? 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 。 。 ? E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作?E ; 例如，在平面上 开区域 闭区域 ? ? ? ? ? 整个平面 ? 点集 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域； 但非区域 . o ? 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 P?D 与某定点 A 的距离 ?AP?? K , 则称 D 为有界域 , 界域 . 否则称为无 5. n 维空间 n 元有序数组 的全体称为 n 维空间, n 维空间中的每一个元素 称为空间中的 称为该点的第 k 个坐标 . 记作 即 一个点, 当所有坐标 称该元素为 中的零元, 记作 O . 的距离记作 中点 a 的 ? 邻域为 规定为 与零元 O 的距离为 二、多元函数的概念 引例: ? 圆柱体的体积 ? 定量理想气体的压强 ? 三角形面积的海伦公式 定义1. 设非空点集 点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 当 n = 3 时, 有三元函数 映射 称为定义 在 D 上的 n 元函数 , 记作 例如, 二元函数 定义域为 圆域 说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ? D 图形为中心在原点的上半球面. 的图形一般为空间曲面 ? . 三元函数 定义域为 图形为 空间中的超曲面. 单位闭球 三、多元函数的极限 定义2. 设 n 元函数 点 , 则称 A 为函数 (也称为 n 重极限) 当 n =2 时, 记 二元函数的极限可写作： P0 是 D 的聚 若存在常数 A , 对一 记作 都有 对任意正数 ? , 总存在正数? , 切 例1. 设 求证： 证: 故 总有 要证 注 (1)二重极限存在, 是指P以任何方式趋于P0时, 函数都无限接近于A . (2)如果当P以两种不同方式趋于P0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在. 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 在点 (0, 0) 的极限. 则有 k 值不同极限不同 ! 在 (0,0) 点极限不存在 . 例2. 讨论函数 多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似. 解 例3 仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在. ? 二重极限 不同. 如果它们都存在, 则三者相等. 例如, 显然 与累次极限 但由例2 知它在(0,0)点二重极限不存在 .