2024_2025年新教材高中数学第四章指数与对数2.2对数的运算性质学案苏教版必修第一册.doc

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对数的运算性质

我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数的运算性质中，得出相应对数的运算性质吗？

[问题](1)算一算：log28与log22＋log24；log28与log82?

(2)猜一猜，对数可能有哪些性质？

学问点一对数的运算性质

若a0，且a≠1，M0，N0，n∈R那么：

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；

(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；

(3)logaMn＝nlogaM．

对数运算中的常见公式及推广

(1)logaeq\r(n,M)＝eq\f(1,n)logaM(M0，n∈N*，n1，a0，且a≠1)；

(2)logaeq\f(1,M)＝－logaM(M0，a0，且a≠1)；

(3)logaeq\r(p,Mn)＝eq\f(n,p)logaM(M0，n，p∈N*，p，n1，a0，且a≠1)；

(4)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a0，且a≠1，M0，N0)可推广为loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N*，N1，N2，…，Nk均大于0，a0，且a≠1)．

在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你可以得到一个什么样的结论？

提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积．

1．推断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．()

(2)loga(xy)＝logax·logay.()

(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．()

答案：(1)√(2)×(3)×

2．log84＋log82＝________．

解析：log84＋log82＝log84×2＝log88＝1.

答案：1

3．log510－log52＝________．

解析：log510－log52＝log5eq\f(10,2)＝log55＝1.

答案：1

学问点二换底公式

logaN＝eq\f(logcN,logca)(a0，a≠1，N0，c0，c≠1)．

换底公式的推论

logambn＝eq\f(n,m)logab，logab＝eq\f(1,logba)

1．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？

提示：logab＝eq\f(lgb,lga)，logab＝eq\f(lnb,lna).

2．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论logeq\a\vs4\al(Nn)Mm＝eq\f(m,n)logNM吗？

提示：logNnMm＝eq\f(lgMm,lgNn)＝eq\f(mlgM,nlgN)＝eq\f(m,n)·eq\f(lgM,lgN)＝eq\f(m,n)logNM.

1．推断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)由换底公式可得logab＝eq\f(log（－2）b,log（－2）a).()

(2)log2M＋log3N＝log6(MN

(3)log23·log32＝1.()

答案：(1)×(2)×(3)√

2.eq\f(log49,log43)＝________．

解析：eq\f(log49,log43)＝log39＝2.

答案：2

3．log29·log32＝________．

解析：log29·log32＝eq\f(lg9,lg2)·eq\f(lg2,lg3)＝eq\f(2lg3,lg3)＝2.

答案：2

4．log48＝________．

解析：log48＝logeq\a\vs4\al(22)eq\a\vs4\al(23)＝eq\f(3,2)log22＝eq\f(3,2).

答案：eq\f(3,2)

对数式的运算

[例1](链接教科书第84页例4)求下列各式的值：

(1)log2(47×25)；

(2)lgeq\r(5,100)；

(3)lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18；

(4)lg52＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.

[解](1)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.

(2)lgeq\r(5,100)＝lg100＝eq\f(1,5)lg100＝eq\f(1,5)×2＝eq\f(2,5).

(3)lg