常微分方程恰当方程.ppt

3定理微分方程第31页,共40页，2024年2月25日，星期天第32页,共40页，2024年2月25日，星期天例6求微分方程的通解.解:由于故它不是恰当方程,又由于第33页,共40页，2024年2月25日，星期天利用恰当方程求解法得通解为积分因子是求解积分方程的一个极为重要的方法,绝大多数方程求解都可以通过寻找到一个合适的积分因子来解决,但求微分方程的积分因子十分困难,需要灵活运用各种微分法的技巧和经验.下面通过例子说明一些简单积分因子的求法.第34页,共40页，2024年2月25日，星期天例7求解方程解:方程改写为:或:易看出,此方程有积分因子第35页,共40页，2024年2月25日，星期天即故方程的通解为:例8求解方程解:故方程不是恰当方程,第36页,共40页，2024年2月25日，星期天方法1:即故方程的通解为:第37页,共40页，2024年2月25日，星期天方法2:方程改写为:容易看出方程左侧有积分因子:故方程的通解为:第38页,共40页，2024年2月25日，星期天方法3:方程改写为:这是齐次方程,即故通解为:变量还原得原方程的通解为:第39页,共40页，2024年2月25日，星期天感谢大家观看第40页,共40页，2024年2月25日，星期天关于常微分方程恰当方程本节课我们讨论另外一类可用初等解法求解的方程类型，为此将一阶微分方程的正规形式（显式方程形式）改写成或更加一般的微分形式:这种形式的优点是既可以把y看成未知函数，x看成自变量；也可以把x看成未知函数，y看成自变量；即变量x、y在方程中的地位是平等对称的，因此微分形式的方程也被称为对称形式微分方程。注：在实际解题过程中，x、y经常被看成一个二元函数的两个自变量，其地位平等。第2页,共40页，2024年2月25日，星期天一、恰当方程的定义及条件如果我们恰好碰见了方程就可以马上写出它的隐式解第3页,共40页，2024年2月25日，星期天定义1则称微分方程是恰当方程.如是恰当方程.1恰当方程的定义第4页,共40页，2024年2月25日，星期天需考虑的问题(1)方程(1)是否为恰当方程?(2)若(1)是恰当方程,怎样求解?(3)若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?2方程为恰当方程的充要条件定理1为恰当方程的充要条件是第5页,共40页，2024年2月25日，星期天证明“必要性”设(1)是恰当方程,故有从而故第6页,共40页，2024年2月25日，星期天“充分性”即应满足第7页,共40页，2024年2月25日，星期天因此事实上第8页,共40页，2024年2月25日，星期天故(8)注:若(1)为恰当方程,则其通解为第9页,共40页，2024年2月25日，星期天二、恰当方程的求解1不定积分法例1验证方程是恰当方程,并求它的通解.第10页,共40页，2024年2月25日，星期天解:故所给方程是恰当方程.第11页,共40页，2024年2月25日，星期天即积分后得:故从而方程的通解为第12页,共40页，2024年2月25日，星期天2分组凑微法采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.---应熟记一些简单二元函数的全微分.如第13页,共40页，2024年2月25日，星期天第14页,共40页，2024年2月25日，星期天例2求方程的通解.解:故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得即或写成故通解为:第15页,共40页，2024年2月25日，星期天例3验证方程是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.解:故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得即第16页,共40页，2024年2月25日，星期天或写成故通解为:故所求的初值问题的解为:第17页,共40页，2024年2月25日，星期天3线积分法定理1充分性的证明也可用如下方法:由数学分析曲线积分与路径无关的定理知:第18页,共40页，2024年2月25日，星期天从而(1)的通解为第19页,共40页，2024年2月25日，星期天例4求解方程解:故所给方程是恰当方程.第20页,共40页，2024年2月25日，星期天故通解为:第21页,共40页，2024年2月25日，星期天三、积分因子非恰当方程如何求解?对变量分离方程:不是恰当方程.是恰当方程.第22页,共40页，2024年2月25日，星期天对一阶线性方程:不是恰