积分因子恰当方程与微分方程的桥梁(传).docx

积分因子：恰当方程与微分方程的桥梁作者：某某电子科技大学 英才实验学院摘要：本文通过总结并证明可分离变量方程、一阶线性微分方程、贝努利方程、一阶分式方程等常见微分方程的积分因子，寻求将一阶常微分方程转化为全微分方程的方法，从而为一阶常微分方程的求解提供一种新的途径,并且对各种一阶微分方程进行初步的统一。关键词：积分因子；恰当方程；微分方程；一、引入：在实际工作中，常常出现一些有趣的问题。比如：某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律等等。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是根据关系求解一个或者几个未知的函数。而描述已知未知条件关系的方程，即为微分方程。理论研究中，力学、天文学、物理学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。种种事例也使得数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。然而微分方程的求解却是一个巨大的难题，求出所有微分方程的通解基本是不可能的任务，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是数学家们逐步放弃了这一奢望而转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。，但是寻求统一却是人们从古至今孜孜以求的。本文便用积分因子的方法对一些初级微分方程的求解做一个简单的统一。二、引言引理1：对于一阶微分方程(1)若方程左端恰好是u( x,y) 的全微分，即，存在u(x,y),使得则称方程( 1) 为全微分方程，其通解为u(x,y)= C，其中C是任意常数．并且，当P(x,y)，Q(x,y)在单连通区域G内具有一阶连续偏导数时方程( 1)成为全微方程的充分必要条件是在G内恒成立。但是在的情形下，如果存在连续可微函数μ(x,y)≠0，使成为全微分方程，则称μ( x，y)为微分方程( 1)的积分因子。引理2：如果μ( x，y)是常微分方程的一个积分因子, 即有则积分因子的一般形式为μ( x，y)f ( u), 其中f是u的任意一个连续函数。Euler就曾经指出: 凡是可用变量分离法的地方都可以用积分因子法。从引理中我们可以看到，如果一阶常微分方程P(x, y ) dx + Q ( x, y ) dy = 0不满足全微分条件, 但在乘以一个积分因子后, 能成为一个恰当方程, 则可用求全微分方程的方法求解，切求解过程将变得十分容易。于是问题便转化成为寻求一个微分方程的积分因子。三、各类函数的积分因子从引理1中我们可以看到。若为一个恰当方程，则与应当满足全微分方程的条件。由引理1，我们可以导出：即需要寻找使得（*）式成立：1.一阶线性微分方程：对于如下形式的一阶线性微分方程：其积分因子可以表示为：证明：由引理一：假设为一含y的式子，则由于Q（x）独立，故式子中的Q（x）无法被消去，所以不含y，即所以p(x)，故验证：当带入积分因子时，通过凑微分法得到，该微分方程的解为：与我们所知的公式一致。2.贝努利方程：对于具有如下形式的贝努利方程方程两边同时乘以, 并移项得到令,化简得这是关于z的一阶线性微分方程，记，则积分因子可以表示为注意此积分因子是将z作为未知函数的积分因子.因此y作为未知函数的积分因子可以表示为：3.一阶分式方程：对于如下形式的一阶分式方程：令则其积分因子可以表示为引理：齐次微分方程当时有积分因子证明要使方程为全微分方程则有即化简得特别的，当，时因此，当时，方程有积分因子下面说明分式微分方程存在积分因子.证明根据方程中各系数之间的关系分情况讨论：（1）当方程是个齐次方程，根据引理可知存在积分因子.（2）当令=，则如果，则直线必有交点，不妨设为，作线性变换，则原方程变形为此方程为齐次方程，因此一定存在积分因子.综上所述，原分式方程一定存在积分因子.4.可分离变量方程：对于可分离变量的微分方程：（**）其积分因子可以表示为证明：因为式子（**）为全微分方程，故由引理1：带入式子恒成立，故可分离变量的一阶微分方程的积分因子可以表示为四、例题[例1]:求解微分方程.解：由上述公式可知：该微分方程的积分因子是：微分方程两端同时乘上积分因子得凑微分得所以解得势函数为[例2]:求解微分方程.由上述公式可知：该微分方程的积分因子是：微分方程两端同时乘上积分因子得凑微分得所以解得势函数为结语虽然积分因子能够求解一些用初等方法求解不便的微分方程。但是利用积分因子来求解微分方程并没有起到太大的简化作用,而且得到的恰当方程也并不一定能够凑出原函数。因此积分因子法只是起到一个对求解微分方程进行初步统一的作用。参考文献[1]傅英定，谢云荪，微积分上第二版2009年