全微分方程和积分因子.doc
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全微分方程及积分因子
内容：凑微分法，全微分方程的判别式，全微分方程的公式解，积分因子的微分方程，只含一个变量的积分因子和其他特殊形式的积分因子。由于有数学分析多元微积分的基础，本节的定理1可以简化处理。对课本中第三块知识即全微分方程的物理背景可以留到后面处理，对第四块知识增解和失解的情况要分散在本章各小节，每次都要重视这个问题。关于初等积分法的局限性可归到学习近似解法时一起讲解。
重点：全微分方程的公式解和积分因子的计算，难点为凑微分法和积分因子的计算。
习题1(1,3,5)，2，3
思考题：讨论其他特殊形式的积分因子。
方程：
判定：全微分
解法：
初值问题
积分因子：
：
：
1．解下列方程：
1）
解：=
既
2）
解：=
既
3）
解：=
既
4）
解：=
既
5）
解：
=
6）
解：=
2．求下列方程的积分因子和积分：
1）
解：
既
2）
解：
3）
解:
既
4）
解:
3．求下列方程的积分因子：
1）
解：
2）
解：
所以
3）
解：
4．设连续可微，
，求证：是方程的一个积分因子。
证明：
=
=
5．设连续，试证方程
为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分因子。
证明：方程有仅依赖于的积分因子等价于
既方程为线性的
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