可降阶的高阶微分方程法9.ppt

§9.3 高阶微分方程的降阶法 P.34例1 P.35例2 P.36例3 有一质量均匀分布的不可伸缩的柔软绳索,两端固定,绳索在重力的作用下自然下垂,求该绳索在平衡状态下的曲线方程. P.37例4 我舰向正东1km处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在航行中始终对准敌舰.设敌舰以常速v0沿正北方向直线航行,已知鱼雷的速度是敌舰速度的2倍,求鱼雷航行曲线的方程,并问敌舰航行多远时将被鱼雷击中? P.40例6 P.41例7 P.42例8.脱离速度问题 * 二阶及二阶以上的微分方程通称为高阶方程． 可降阶的方程---- 通过初等变换降低阶数求解的方程． 二. 不显含因变量的方程 代入原方程, 得 解法： 特点： P(x)的(n-k)阶方程 可得通解. 一般, 型 解 代入原方程 解线性方程, 得 两端积分,得 原方程通解为 例 1 解:设M为绳索上任一点, 弧段OM上的受力如图所示 (悬链线) 解:建立坐标如图所示,鱼雷航行曲线的方程为y=y(x).设在时刻t, 鱼雷位于点P(x,y)处,敌舰位于点A(1, v0t)处,且AP是曲线在点A的切线,即 三. 不显含自变量的方程 求得其解为 原方程通解为 特点： 解法： 一般, 型 (一阶线性非齐次) (可分离变量) 证明：曲率半径为常数R的曲线是圆。 证明： 设曲线方程为 则曲率为 方程化为 即 两边积分： 两边积分： 两边平方，整理得 以上为圆的方程，故曲线为圆。 *