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* 积分得 1 2 C y z + = ，即 1 2 C y y + = ￠ ， 续上 *
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第五节 一、 例1. 例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线 二、 例3. 求解 例4. 三、 例5. 求解 例6. 说明: 若此例改为如图所示的坐标系, 例7. 解初值问题 例8. 内容小结 思考与练习 作业 备用题 * 目录 上页 下页 返回 结束 可降阶高阶微分方程 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 第七章 令 因此 即 同理可得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
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* 第七章 常微分方程 本章学习要求： 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. 知道下列高阶方程的降阶法： 了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. 熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法. 第三节 几种可降阶
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第五节 一、 二、 例2 三、 例4 求解 内容小结 思考题 综合题 备用题 例1-1 例2-2 求解 例4-4 解初值问题 可降阶的高阶微分方程 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 第十二章 令 因此 即 同理可得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 型的微分方程 例1 解 所以 (方法1) (方法2) 型的微分方程 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 则得 再一次积分, 得原方程的通解 解 可分离变量方程 型
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四川大学数学学院 徐小湛 June 2005 Revised March 2006 Reduction of Order 12.6 可降阶的高阶微分方程 二阶微分方程的一般形式： 或 通解： n 阶微分方程的一般形式： 或 通解： 一、 n 阶微分方程 这种 n 阶方程可以通过 n 次积分求出通解： 降为 n-1 阶方程 再积分，又降为 n-2 阶方程 例 解三阶方程： 解 积分 再积分 再积分 通解 两类特殊的二阶微分方程 二、特殊的二阶微分方程 不显含 y 二阶微分方程的一般形式： 特殊的二阶微分方程： 不显含 y 用降阶法 令 则 原方程化为： p 的一阶方程 Reduc
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E-mail: xuxin@ahu.edu.cn §5 可降阶的高阶微分方程 定义 称二阶及二阶以上的微分方程为高阶微分方程 方程 y (n) = f (x) 1. y(n) = f (x)型的微分方程 右端仅含有自变量x，容易看出，只要令y (n－1) = p 则p=f(x);则原方程可以看成是一阶微分方程，两边 积分就得到一个n－1阶的微分方程： 同理可得： 这样经过n次积分，即得到原方程的通解。 例1. 解方程 解: 连续积分两次，得： 例2. 解方程 解: 连续积分三次，得： 2. 不显含y型: 解法: 令 y=p, 则
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函数与极限 练习. 解初值问题 * 首页 上页 下页 返回 结束 高等数学教案 华南理工大学广州学院 §7.5可降阶的高阶微分方程 特点： 解法： 两边直接积分，直至求出通解为止。 一、 型 例1 求微分方程 的通解。 解： 两边积分，得 再次两边积分，得 特点： 解法： 两边积分积分，得原方程的通解为 二、 型 例2 求微分方程 满足初始条件 的特解. 解 两边积分，得 即 所以 两边再积分，得 于是所求特解为 特点： 解法： 则由复合函数求导法则，
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微分方程 第六节 可降阶的高阶微分方程 二、不显含未知函数 的二阶微分方程 三、不显含自变量 的二阶微分方程 四、小结 * 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 四、小结 一、 型的微分方程 解法 例1： 解： 两边积分可得： 再积分一次得： 这种方程的通解可经过积分 次而求得。 求特解时,一般应在每次积分后确定一个常数. 解 表示在时刻 时质点的位置, 根据牛顿第二定律,质点运动的微分方程为 由题设,
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第五节 一、 例1. 例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线 二、 例3. 求解 例4. 三、 例5. 求解 例6. 解初值问题 内容小结 思考与练习 作业 * 可降阶高阶微分方程 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 第七章 令 因此 即 同理可得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 型的微分方程 解: 运动, 在开始时刻 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 直到 t = T 时 F(T)
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8.5 一、形如 例1. 二、形如 例2. 求解 三、形如 例3. 求解 内容小结 思考与练习 作业 * 可降阶的高阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、形如 的微分方程 二、形如 的微分方程 三、形如 的微分方程 第八章 令 因此 即 同理可得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 的微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页
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微分方程 5.5 可降阶的高阶微分方程 一、 型 三、 型 二、 型 解法：直接积分 可得通解. 一、 型 特点：右边仅含自变量 。 代入原方程, 得 解法： 特点： P(x)的(n-k)阶方程 可得通解. 二、 型 解 代入原方程 解线性方程, 得 两端积分,得 原
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第六节 可降阶的高阶微分方程 例1 求解 二. 例4 求解 三. 例5 求解 例6 解下列初值问题 例7 设函数 内容小结 思考与练习 * 四、小结及作业 一. 令 则 因此 即 同理可得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 型的微分方程 解 ( 这里 ) 型的微分方程 设 则 于是原方程化为一阶方程 设其通解为 则 再一次积分, 得原方程的通解 解 设 则 代入方程,得 分离变量 积分得 即 利用 得 于是有 两端再积分, 得 利用 得 因此所求特解为 型的微分方程 设 则 故方程化为 设它的通解为 即得 分离变量后
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可降阶的高阶微分方程 一、 型的微分方程 例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线 二、 型的微分方程 例4. 三、 型的微分方程 例7. 说明: 若此例改为如图所示的坐标系, 例8. 解初值问题 例9. 内容小结 备用题 四、其他可降阶的微分方程 * 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 四、其他可降阶的微分方程 几种可降阶的高阶常微分方程
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CH1_ 第三节 可降阶的高阶微分方程 第三节 可降阶的高阶微分方程 第十二章 微分方程 一 型的微分方程 二 型的微分方程 三 型的微分方程 一、 令 因此 即 同理可得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 型的微分方程 例1. 解: 例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线 运动, 在开始时刻 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点
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§9.3 高阶微分方程的降阶法 P.34例1 P.35例2 P.36例3 有一质量均匀分布的不可伸缩的柔软绳索,两端固定,绳索在重力的作用下自然下垂,求该绳索在平衡状态下的曲线方程. P.37例4 我舰向正东1km处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在航行中始终对准敌舰.设敌舰以常速v0沿正北方向直线航行,已知鱼雷的速度是敌舰速度的2倍,求鱼雷航行曲线的方程,并问敌舰航行多远时将被鱼雷击中? P.40例6 P.41例7 P.42例8.脱离速度问题 * 二阶及二阶以上的微分方程通称为高阶方程． 可降阶的方程---- 通过初等变换降低阶数求解的方程． 二. 不显含因变量的