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微分方程 第六节 可降阶的高阶微分方程 二、不显含未知函数 的二阶微分方程 三、不显含自变量 的二阶微分方程 四、小结 * 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 四、小结 一、 型的微分方程 解法 例1： 解： 两边积分可得： 再积分一次得： 这种方程的通解可经过积分 次而求得。 求特解时,一般应在每次积分后确定一个常数. 解 表示在时刻 时质点的位置, 根据牛顿第二定律,质点运动的微分方程为 由题设, , 且力随时间的增大而均匀地减小; 所以 例2 质量为 的质点受力 的作用沿 轴作直线运动.设力 仅是时间 的函数: .在开始时刻 时 ,随着时间 的增大,此力 均匀地减小,直到 时, .如果开始时质点位于原点,且初速度为零,求质点在 时 的运动规律. 从而 方程为 初始条件为 两端积分得 代入初始条件 于是方程变为 再积分一次得 将条件 代入上式,得 于是,所求质点的运动规律为 形式为 的微分方程。 解法： 此时，该二阶微分方程变为一阶微分方程，求出 一阶微分方程的通解后再两边积分即可。 例3 解： 两边积分得到 两边再积分得 于是所求方程的特解为： 例4 设有一均匀、柔软的绳索，两端固定， 绳索仅受重力的作用而下垂。试问绳索在平衡 状态时是怎样的曲线？ 解： 设绳索的最低点为A. 取y轴通过点A铅直向上 并取x轴水平向右，且|OA|等于某个定值。 解法： 这时方程变为一阶微分方程： 解 代入原方程得 原方程通解为 例 4 解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解.