6可降阶的高阶微分方程.PPT

四川大学数学学院 徐小湛 June 2005 Revised March 2006 Reduction of Order 12.6 可降阶的高阶微分方程 二阶微分方程的一般形式： 或 通解： n 阶微分方程的一般形式： 或 通解： 一、 n 阶微分方程 这种 n 阶方程可以通过 n 次积分求出通解： 降为 n-1 阶方程 再积分，又降为 n-2 阶方程 例 解三阶方程： 解 积分 再积分 再积分 通解 两类特殊的二阶微分方程 二、特殊的二阶微分方程 不显含 y 二阶微分方程的一般形式： 特殊的二阶微分方程： 不显含 y 用降阶法 令 则 原方程化为： p 的一阶方程 Reduction of Order 设 得 一阶方程 通解： 例 解二阶方程： 解 方程缺 y，用降阶法 令 则 原方程化为： 设 p 0 得： p 的一阶方程 可分离变量 得： 一阶方程 积分，得通解： 三、特殊的二阶微分方程 不显含 x 二阶微分方程： 不显含 x 用降阶法 令 则 原方程化为： 有三个变量？ 没法解呀！ 再来 原方程化为： p 和 y 的一阶方程 已经降阶 以下的事情就好办了 例 解二阶方程： 解 方程缺 x，用降阶法 令 则 原方程化为： 设 得： p 的一阶方程 可分离变量 得： 一阶方程 分离变量： 通解 例 4 悬链线 Catenary http://teachers.sduhsd.k12.ca.us/abrown/Activities/Matching/answers/catenary.htm A catenary is the curve of a hanging chain. 特点：张力全在切线方向 Catenary http://teachers.sduhsd.k12.ca.us/abrown/Activities/Matching/answers/catenary.htm The Gateway Arch in St. Louis, Missouri is an inverted catenary 特点：压力全在切线方向 四川大学数学学院 徐小湛 June 2005 Revised March 2006