已知一点的应力状态MPa.doc

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第一章

已知一点的应力状态MPa，试求该应力空间中的斜截面上的正应力和切应力为多少？

解：若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为：

，，

因此：，；

Sx＝σxl＋τxym＋τxzn=

Sy＝τxyl＋σym＋τzyn=

Sz＝τxzl＋τyzm＋σzn=

1-11已知OXYZ坐标系中，物体内某点的坐标为（4，3，-12），其应力张量为：，求出主应力，应力偏量及球张量，八面体应力。

解：=100+50-10=140

=100×50+50×（-10）+100×（-10）-402-(-20)2-302

=600

==-192000

σ1=122.2,σ2=31.7,σ3=49.5

σm=140/3=46.7

σ8=σm=46.7

1-12设物体内的应力场为，，，，试求系数c1，c2，c3。

解：由应力平衡方程的：

即：（1）

（2）

有（1）可知：因为x与y为任意实数且为平方，要使（1）为零，必须使其系数项为零，

因此，-6-3c2=0（3）

3c1-c3=0（4）

联立（2）、（3）和（4）式得：

即：c1=1，c2=－2，c3=3

已知受力物体内一点应力张量为：求外法线方向余弦为l=m=，n=的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。

令，要使等效应力最小，必须使y值最小，两边微分得：

等效应力最小值：

1-20．在平面塑性变形条件下，塑性区一点在与x轴交成θ角的一个平面上，其正应力为σ（σ＜0），切应力为τ，且为最大切应力K，如图1-24所示。试画出该点的应力莫尔圆，并求出在y方向上的正应力σy及切应力τxy，且将σy﹑τyz及σx、τxy所在平面标注在应力莫尔圆上。

图1-24（题20）

解：由题意得知塑性区一点在与x轴交成θ角的一个平面上的切应力为为最大切应力K，因此可以判断该平面为主剪平面，又由于切应力方向为逆时针，因此切应力为负，其位置为应力莫尔圆的最下方，该点的应力莫尔圆如图1-25所示。

图1-25

第二章

2-9．设，其中a、b为常数，试问上述应变场在什么情况下成立？

解：对求y的2次偏导，即：

（1）

对求x的2次偏导，即：

（2）

对求x和y的偏导，即：

（3）

带（1）、（2）和（3）入变形协调方程（4），得：

（4）

即：时上述应变场成立。

2-10试判断下列应变场是否存在？

（1），，，，，

（2），，，，

（1）解：对、和分别求x、y或z的2次偏导，对、和分别求x、y和z的2次偏导，则：

,；（a）

,；（b）

，；（c）

，；（d）

将（a）、（b）、（c）和（d）代入变形协调方程（e）：

（e）

则（e）第一式不等，即：

这说明应变场不存在。

（2）对、和分别求x、y或z的2次偏导，对和分别求x、y和z的2次偏导，

,；（a）

,；（b）

，；（c）

，；（d）

则：，说明应变场不存在。

2-11．设物体