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第13章 应力分析stress analysis 本章内容：应用塑性力学分析金属在外力作用下的变形行为 本章重点：点的应力状态分析 应力stress：单位面积上的内力。 材料力学方法：切面法，将物体切开, 利用内力外力平衡条件求切面上的应力分布。 塑性力学方法：把物体切成无数个微六面体（或其他形状），称微元体或单元体，根据单元体静力平衡条件写出平衡微分方程，再考虑其他条件求解。 满足条件：连续，均质，同性，平衡，无体积力，体积不变。 可列方程：平衡微分方程（平衡，3个）， 几何方程（连续均质，6个）， 物理方程（应力应变关系，6个） 屈服准则 （ 1个） （共16个） 变量（共18个）：坐标x, y, z, 位移u, v, w, 应力6个，应变6个。 力的类型有 面力：作用力，反作用力，摩擦力 体积力：重力，磁力，惯性力——高速成形不能忽略 13．1 应力状态分析 目标：任意一点的应力状态stress state —— 整个变形体的应力状态 13．1．1 应力分析截面法 外力outside forces—— 产生内力 应力：正应力（stress）σ，切应力（shear stress）τ 要点：截开物体后，内力变外力。 13．1．1．1 单向拉伸uniaxial tensile应力分析 C1面上全应力：S=F/A=F/(A0/cosθ)=σ0 cosθ 正应力：σ=Scosθ=σ0 cos2θ 切应力：τ=Ssinθ=σ0 cosθsinθ 结论：任意方向都可由σ0 和θ确定其全应力S，正应力σ，切应力τ，即：单向拉伸只需σ0即可确定任意面的应力状态。 13．1．1．2 两向应力状态 设任意斜面AB（夹角θ）上的全应力S， S可以分解为正应力σ，切应力τ 由于静力平衡 即有： 解得： 13．1．2 应力分析单元体法 变形体多向受力，用截面法不全面，需改进——单元体法！ 设物体内任一单元体受力，将全应力均加以分解后，得九个应力分量stress components，可写为矩阵： 作用面 作用方向 注意：应力是张量tensor（标量，矢量，张量） 张量的定义：满足坐标系转换关系的分量集合 正负号：正面正向、负面负向取正号，正面负向、负面正向取负号。 单元体平衡有：τxy=τyx τxz=τzx τyz=τzy 因此σij=是对称张量 当同一单元取不同坐标系时，各应力值会不一样，但是点的应力状态未改变。 圆柱坐标 ——柱坐标应力张量 球坐标——球坐标应力张量 13．1．3 任意斜面上的应力stress on the oblique plane 已知应力状态σij=，求斜面ABC上的应力（全应力S，正应力σ，切应力τ）,l, m, n 即： l=cos(N, x) m=cos(N, y) n=cos(N, z) 解：将全应力沿坐标方向分解为：Sx Sy Sz 由静力平衡force equilibrium SxdA-σxdAx-τyxdAy-τzxdAz=0 而dAx=ldA dAy=mdA dAz=ndA 所以 Sx=σxl+τyxm+τzxn 同理 Sy=τxyl+σym+τzyn Sz=τxzl+τyzm+σzn 因此S2=Sx2+Sy2+Sz2 σ= Sxl+Sym+Szn =σxl2+σym2+σxn2+2(τxylm+τyzmn+τxzln) τ2= S2-σ2 习题： 13章 1、7 1、什么叫张量？张量有什么性质？ 7、已知受力物体内一点的应力张量为Mpa，求外法线方向余弦为的斜切面上的全应力、正应力和切应力。 13．1．4 主应力与应力不变量stress invariants 主平面principal plane——切应力为0的平面。 主应力principal stress——主平面上的正应力。 应力主轴（主方向）——主平面的法线方向。 也就是将 变换为，即将实对称阵变为对角阵。 13．1．4．1 任意坐标系 设ABC为主平面，在主平面上有τ=0 由于τ2= S2-σ2 即可得S=σ 所以Sx=Sl=σl Sy=σm Sz=σn 因此有： (σx-σ)l+τyxm+τzxn =0 τxyl+(σy-σ)m+τzyn =0 τxzl+τyzm+(σz-σ)n=0 而：l2+m2+n2=1 此为隐含条件 所以有： 此式即 展开整理为：σ3-J1σ2-J2σ-J3=0 ***** 其中：J1=σx+σy+σz 可以求出