平面问题中一点的应力状态.pptx

已知任一点P处坐标面上应力，求经过该点的任何斜面上的应力。问题的提出：§2－5平面问题中一点的应力状态问题空间问题有6个独立的应力分量，平面问题有3个不为0的应力分量，可决定一点的应力状态。即，可求出过该点任意斜截面上的正应力与剪应力。

斜面应力表示：求解：取出一个三角形微分体（包含面，面，面），边长问题

平面问题中一点的应力状态yxPAPBppxpyτNσNn几何参数：设AB面面积=ds，PB面积=lds，PA面积=mds。斜面上应力分解为：由∑Y=0得：

由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得01求（,）02斜面应力03其中：l=cos(n,x),m=cos(n,y)。04

平面问题中一点的应力状态yxPAPBppxpy斜面上应力分解为：τNσN（2-4）（2-5）已知P点应力σxσyτxy可求出过P点任意斜面上的正应力和剪应力（σNτN）利用（2-4）（2-5）应力在x，y轴上的投影（px，py）利用（2-3）n

说明：（1）运用了剪应力互等定理：（2）的正负号规定：将N转动90°而到达的方向是顺时针的，则该为正；反之为负。（3）若AB面为物体的边界S，则（2-18）——平面问题的应力边界条件yxPAPBppxpyτNσNn

主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平面主平面上的应力叫主应力。σpxpyyxAPBnσ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0

σpxpyyxAPBn注意:①平面应力状态下,任一点一般都存在两个主应力。二者方向互相垂直。②σ1+σ2=σx+σy③任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。④最大剪应力所在平面与主平面相交45°，其值为⑤主平面上剪应力等于零，但τmax作用面上正应力一般不为零。而是：

求最大，最小应力说明：以上均应用弹力符号规定导出。将x，y放在方向，列出任一斜面上应力公式，可以得出（设 ）最大，最小应力

最大、最小剪应力由显然，当时，τN为最大、最小值：由得，τmax、τmin的方向与σ1（σ2）成45°。xyOdxdydsPABNs

（1）斜面上的应力小结：（2-3）（2-4）（2-5）（2-6）（2-18）——平面问题的应力边界条件

（2-8）表明：σ1与σ2互相垂直。（2）一点的主应力、应力主向、最大最小应力（2-7）τmax、τmin的方向与σ1（σ2）成45°。

注意：与的符号规定（主应力方向逆时针转到x轴为正）例：已知平面一点的应力状态为。求该点的主应力和主平面方向。解：平面问题的基本理论

试证明：在发生最大和最小剪应力的面上,正应力的数值都等于两个主应力的平均值。

例题已知?X=q，?y=0，?xy=-2q，求：?1，?2，α1?1=2.562q?2=-1.562qtgα1=-0.781α1=-37.99o=-37o59`

问题：平面问题中，已知一点的应力为，那么任一方向的正应力?n为?n为;已知那么

§2-6边界条件1.弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2-2）（2）几何方程：（2-9）（3）物理方程：（2-15）未知量数：8个方程数：8个结论：在适当的边界条件下，上述8个方程可解。

位移边界条件－－设在部分边界上给定位移分量和,则有（在上)。（a）边界条件－－表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。

0504020301若为简单的固定边，则有位移边界条件的说明：（在上）。（b）它是在边界上物体保持连续性的条件，或位移保持连续性的条件。 它是函数方程，要求在上每一点，位移与对应的约束位移相等。

通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系式，应力边界条件－－设在上给定了面力分量（在A中）。（c）

将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得应力边界条件:

说明应力边界条件的说明：式（c）在A中每一点均成立，而式（d）只能在边界s上成立；它是函数方程，要求在边界上每一点s上均满足，这是精确的条件；它是边界上微分体的静力平衡条件；

所有边界均应满足，无面力的边界01（自由边）