几何向量及线性运算3.1-3.2.3向量积.ppt

)*哈工大数学系代数与几何教研室王宝玲*本章内容提要?几何向量的线性运算?空间中的平面与直线数量积、向量积、混合积几何向量的坐标，用坐标表示几何向量的运算.?向量代数历史*数学历史数学萌芽(公元前600年以前)初等数学(公元前600年到17世纪中叶)变量数学(17世纪中叶到19世纪20年代)数学发展的第三个时期,是变量数学时期.它以笛卡尔解析几何的建立为起点.笛卡尔(Descartes,1596年3月31日生于法国)解析几何是利用代数方法来研究几何图形性质的一门学科.平面解析几何空间解析几何主要是笛卡尔和费尔马(Fermat)共同创立.通过在空间中建立坐标系,将点用坐标表出,然后图形的几何性质可以用坐标之间的关系,特别是代数关系来表示.解析几何为微积分的出现创造了条件.3.1向量及其线性运算*作为研究（空间）解析几何的工具；研究数学中其它一些分支、力学及其?向量代数引言“向量代数”的应用:它学科的工具；3.1向量及其线性运算向量的基本概念*定义有大小又有方向的量称为(几何)向量，记为：?,?,?,….模:(长度、大小)AB几何表示:用有向线段代数表示:用坐标(x,y,z)a=b?把起点平移在一起,则完全重合.方向相同,大小相等.自由向量:与起点无关的向量.几种特殊的向量*单位向量:负向量:a的负向量与a大小相等方向相反,记为-a.零向量:,记为0.零向量的方向任意或不确定.两向量共线:a∥b同向或反向的向量.两向量共面:平行与同一平面的向量.任意两向量都共面.向量的线性运算*一、向量的加法分析一下物理中的两种有方向的量:力的合成,可以引入向量加法的概念.加法：baa+baba+b2.三角形法则1.平行四边形法则首尾相连,a起点指向b终点c=a+babcdee=a+b+c+d3.多边形法则：n个向量之和,只要把它们相继地首尾连接后，从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量,即为和向量.如4.向量加法运算的性质*(1)交换律:a+b=b+a(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)(3)零向量:a+0=0+a=a(4)反向量:a+(-a)=(-a)+a=05.向量的减法:a-b=a+(-b)b两起点置一处,b终点指向a终点aa-b二.向量的数乘*(1)1a=a,(-1)a=-a(2)k(la)=(kl)a(3)(k+l)a=ka+la(4)k(a+b)=ka+kb2.数乘运算的性质:1.数乘:ka∥a长度方向同向反向不定规定:若a=0，?k，ka=0若k=0，?a，ka=0a≠0,a0=*3.单位向量:a|a|,为与a同向的单位向量.a=aa04.平行:（共线）与都没有意义.注（1）（2）ab无意义.（3）ka+lb=0,k,l不全为零*如果k?0?a=(-l/k)b?a,b共线;如果l?0?b=(-k/l)a?a,b共线.5.两个向量a,b共线?存在不全为零的数（平行）k,l使ka+lb=0.证a,b共线a=kb或b=ka,?存在k使得ka+lb=0.三个向量a1,a2,a3共面?是存在不全为零的数k1,k2,k3使a2a1证明思路必要性:分两种情况其中有平行向量其中两两不平行a3充分性:不仿设k1不为零,则有a1=(-k2/k1)a2+(-k3/k1)a3123456*例1平行四边形ABCD(如图),试用a、b表示.和解因为平行四边形的对角线互相平分所以abMABCD3.2向量的数量积,向量积和混合积*向量