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高等数学考试试题和答案
一、选择题(每题5分,共20分)
1.设函数f(x)在点x=a处可导,且f(a)=2,则曲线y=f(x)在点(a,f(a))处的切线斜率为多少?
A.0
B.1
C.2
D.4
答案:C
2.极限lim(x→0)(sinx)/x的值是多少?
A.0
B.1
C.2
D.∞
答案:B
3.以下哪个选项是正确的?
A.∫(0to1)xdx=1/2
B.∫(0to1)x^2dx=1/3
C.∫(0to1)x^3dx=1/4
D.∫(0to1)x^4dx=1/5
答案:B
4.设数列{a_n}的通项公式为a_n=2n,那么数列{a_n}的前n项和S_n为多少?
A.n^2
B.n(n+1)
C.2n^2
D.2n(n+1)
答案:D
二、填空题(每题5分,共20分)
5.设函数f(x)=x^2-4x+3,求f(x)的极小值点。
答案:2
6.计算定积分∫(0toπ)sinxdx。
答案:2
7.已知数列{a_n}满足a_1=1,a_{n+1}=2a_n+1,求a_5的值。
答案:33
8.求解微分方程dy/dx+y=x^2的通解。
答案:y=(1/3)x^3-x+C
三、解答题(每题10分,共60分)
9.证明:如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,那么f(x)在区间[a,b]上一定存在最大值和最小值。
10.计算二重积分?(D)xydA,其中D是由曲线y=x^2和直线x=1,y=0围成的区域。
11.已知函数f(x)=ln(x),求f(x)。
12.求解微分方程dy/dx-2y=x^2e^x,其中初始条件为y(0)=1。
13.计算级数∑(1to∞)(1/n^2)的和。
14.证明:如果数列{a_n}收敛于a,那么数列{a_n^2}也收敛,并且收敛于a^2。