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传递函数方程的定义

传递函数的定义

对于线性时不变系统，在零初始条件下，系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比，称为该系统的传递函数。设线性定常系统的输入信号为\(r(t)\)，输出信号为\(c(t)\)，其对应的拉普拉斯变换分别为\(R(s)\)和\(C(s)\)。系统的传递函数\(G(s)\)可表示为：

\[G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\]

式中，\(s\)是复变量，\(s=\sigma+j\omega\)，\(\sigma\)为实部，\(\omega\)为虚部。

从微分方程角度来看，对于一个\(n\)阶线性时不变系统，其输入\(r(t)\)和输出\(c(t)\)满足如下的线性常系数微分方程：

\[a_{n}\frac{d^{n}c(t)}{dt^{n}}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}c(t)}{dt^{n-1}}+\cdots+a_{1}\frac{dc(t)}{dt}+a_{0}c(t)=b_{m}\frac{d^{m}r(t)}{dt^{m}}+b_{m-1}\frac{d^{m-1}r(t)}{dt^{m-1}}+\cdots+b_{1}\frac{dr(t)}{dt}+b_{0}r(t)\]

其中\(a_{i}(i=0,1,\cdots,n)\)和\(b_{j}(j=0,1,\cdots,m)\)为常数，且\(a_{n}\neq0\)。在零初始条件下，对上述微分方程两边进行拉普拉斯变换，根据拉普拉斯变换的微分性质\(L[\frac{d^{k}x(t)}{dt^{k}}]=s^{k}X(s)\)（\(x(t)\)为任意函数，\(X(s)\)为其拉普拉斯变换），可得：

\[(a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_{1}s+a_{0})C(s)=(b_{m}s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_{1}s+b_{0})R(s)\]

则该系统的传递函数为：

\[G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_{m}s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_{1}s+b_{0}}{a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_{1}s+a_{0}}\]

传递函数的性质

1.只适用于线性时不变系统：传递函数是基于线性常系数微分方程推导出来的，因此只适用于满足叠加原理的线性时不变系统。

2.与系统的初始条件无关：传递函数是在零初始条件下定义的，它反映的是系统本身的固有特性，与系统的初始状态无关。

3.反映系统的动态特性：传递函数的极点和零点决定了系统的动态响应特性。极点决定了系统自由运动的模态，零点则影响各模态在响应中所占的比重。

4.传递函数不唯一对应系统的物理结构：不同的物理系统可能具有相同的传递函数，即传递函数只描述了系统输入-输出之间的关系，而不反映系统的内部结构。

试题

1.已知某线性时不变系统的微分方程为\(\frac{dc(t)}{dt}+2c(t)=3r(t)\)，求该系统的传递函数。

2.系统的微分方程为\(2\frac{d^{2}c(t)}{dt^{2}}+5\frac{dc(t)}{dt}+3c(t)=\frac{dr(t)}{dt}+r(t)\)，求其传递函数。

3.若系统的传递函数\(G(s)=\frac{5}{s+3}\)，当输入\(r(t)=2u(t)\)（\(u(t)\)为单位阶跃函数）时，求输出\(C(s)\)。

4.已知系统传递函数\(G(s)=\frac{s+1}{s^{2}+2s+2}\)，输入\(r(t)=\delta(t)\)（\(\delta(t)\)为单位脉冲函数），求输出\(C(s)\)。

5.某系统传递函数\(G(s)=\frac{4}{s^{2}+6s+8}\)，求该传递函数的零点和极点。

6.系统传递函数\(G(s)=\frac{s-2}{s^{3}+3s^{2}+2s}\)，确定其零点和极点。

7.已知系统传递函数\(G(s)=\frac{2s+3}{s^{2}+4s+5}\)，当输入\(r(t)=e^{-t}\)时，求输出\(C(s)\)。

8.系统的微分方程为\(3\frac{dc(t)}{dt}+c(t)=2r(t)\)，若输入\(r(t)=t\)，求输出\(C(s)\)。

9.求传递函数\(G(s)=\frac{3s+1}{s^{2}-s-6}\)的零点和极点，并判断系