第四章　§4.10　解三角形应用举例.docx

§4.10解三角形应用举例

课标要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

测量中的几个有关术语

术语名称

术语意义

图形表示

仰角与俯角

在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角

方位角

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ360°

方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α

例：

坡角与坡比

坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i=?l=tan

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)西南方向与南偏西45°方向相同.()

(2)仰角和俯角都是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为0，π2.(

(3)方位角是从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角.()

(4)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α+β=180°.()

2.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B()

A.北偏东10°方向 B.北偏西10°方向

C.南偏东80°方向 D.南偏西80°方向

3.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC=BC=1km，且C=120°，则A，B两点间的距离为km.?

4.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD=15°，∠CBD=30°，CD=102m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB=.?

1.对于立体测量问题，通常要转化为两类平面问题，一是竖直放置的平面，通常要解直角三角形；另一类是水平放置的平面，通常要解斜三角形.

2.谨防两个易误点

(1)注意仰角与俯角是相对水平视线而言的，是在铅垂面上所成的角；

(2)明确方位角及方向角的含义，避免因混淆概念而出错.

题型一测量距离问题

例1(1)(2024·厦门模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()

A.102海里 B.103海里

C.202海里 D.203海里

(2)如图，某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在江的南岸，距离为103km；基站A，B建在江的北岸，测得∠ACB=45°，∠ACD=30°，∠ADC=120°，∠ADB=75°，则基站A，B之间的距离为()

A.106km B.30(3-1)km

C.30(2-1)km D.105km

思维升华距离问题的解题策略

选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.

跟踪训练1如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点，现测得AB=5km，AD=7km，∠ABD=60°，∠CBD=23°，∠BCD=117°，据以上条件可求得两景点B与C之间的距离约为km(精确到0.1km，参考数据：sin40°≈0.643，sin117°≈0.891).?

题型二测量高度问题

例2(1)《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量学著作.现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个3丈高的标杆，之间距离为1000步，两标杆与海岛的底端在同一直线上.从第一个标杆M处后退123步，人眼贴地面，从地上A处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N处后退127步，从地上B处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高为(3丈=5步)()

A.1200步 B.1300步

C.1155步 D.1255步

(2)(2025·南京模拟)如图，某中学校园内的景观树已有百年历史，小明为了测量景观树高度，他选取与景观树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得景观树根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在北偏西15°的方向上，树梢D的仰角为30°，则景观树的高度为()

A.106米 B.203米

C.203