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中考数学教材同步复习第四章三角形及应用18解直角三角形及其应用.pptx

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第一部分

18、解直角三角形及其应用

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18、解直角三角形及其应用

►知识点一锐角三角函数

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【注意】(1)锐角三角函数是在直角三角形中定义;(2)sinA,cosA,tanA表示是一个整体,是指两条线段比,没有单位;(3)锐角三角函数大小仅与角大小相关,与该角所处直角三角形大小无关;(4)当A为锐角时,0sinA1,0cosA1,tanA0.

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2.特殊角三角函数值

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►知识点二解直角三角形

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2.解直角三角形类型和解法

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3.解直角三角形应用相关概念

(1)仰角、俯角(如图①)

铅垂线:重力线方向直线.

水平线:与铅垂线垂直直线.普通情况下,地平面上

两点确定直线我们认为是水平线.

仰角与俯角:在测量时,视线与水平线所成角中,视线水平线上方角叫②_________,视线水平线下方角叫③_________.

仰角

俯角

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(2)坡度、坡角(如图②)

①坡度也叫坡比,用i表示.坡面铅直高度h与水平距离l比叫坡度:④________.

②坡面与水平方向夹角叫坡角,用α表示.

③坡角与坡度关系式为i=⑤________.

(3)方向角、方位角(如图③)

方向角:指南或指北方向线与目标方向线所成

小于90°角,叫做方向角.

方位角:从标准方向北端起,顺时针方向到直线水平角称为该直线方位角,方位角范围为0°~360°.如图③,A点位于O点东偏北30°方向,而B点位于O点东南方向.

tanα

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【注意】东北方向指北偏东45°方向,东南方向指南偏东45°方向,西北方向指北偏西45°方向,西南方向指南偏西45°方向,我们普通画图方位为上北下南,左西右东.

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解直角三角形

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【思绪点拨】本题考查解直角三角形.(1)要求BC长,只要求出BE和CE长即可,由题意能够得到BE和CE长,本题得以处理;(2)要求AD长,只要求出AE和DE长即可,依据题意能够得到AE、DE长,本题得以处理.

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利用锐角三角形函数求边长或角度是初中阶段惯用方法,通常是在一个直角三角形中,知道其中两个量就能够求出另外三个量.初中阶段锐角三角函数有三种:正弦sin,余弦cos,正切tan,都是在直角三角形中研究结论.

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1.(江西)在Rt△ABC中,∠A=90°,有一个锐角为60°,BC=6.若点P在直线AC上(不与点A,C重合),且∠ABP=30°,则CP长为___________________.

【考查内容】解直角三角形,分类讨论思想.

【解析】如图1,

当∠C=60°时,∠ABC=30°,与∠ABP=30°矛盾;

如图2,当∠C=60°时,∠ABC=30°,

∵∠ABP=30°,∴∠CBP=60°,∴△PBC是等边三角形,∴CP=BC=6;

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【例2】(江西)如图1是一副创意卡通圆规,图2是其平面示意图,OA是支撑臂,OB是旋转臂,使用时,以点A为支撑点,铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆.已知OA=OB=10cm.

(1)当∠AOB=18°时,求所作圆半径;(结果准确到0.01cm)

解直角三角形实际应用

(2)保持∠AOB=18°不变,在旋转臂OB末端铅笔芯折断了一截情况下,作出圆与(1)中所作圆大小相等,求铅笔芯折断部分长度.(结果准确到0.01cm)

(参考数据:sin9°≈0.1564,cos9°≈0.9877,sin18°≈0.3090,cos18°≈0.9511,可使用科学计算器)

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【思绪点拨】本题考查解直角三角形应用.(1)依据题意作辅助线OC⊥AB于点C,依据OA=OB=10cm,∠OCB=90°,∠AOB=18°,能够求得∠BOC度数,从而能够求得AB长;(2)由题意可知,作出圆与(1)中所作圆大小相等,则AE=AB,然后作出对应辅助线,画出图形,从而能够求得BE长,本题得以处理.

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【解答】(1)作OC⊥AB于点C,如图3所表示,由题意可得,OA=OB=10cm,∠OCB=90°,∠AOB=18°,∴∠BOC=9°,∴AB=2BC=2OB·sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm,即所作圆半径约为3.13cm;

(2)作AD⊥OB于点D,作AE=AB,如图4所表示,∵保持∠AOB=18°不变,在旋转臂OB末端铅笔芯折断了一截情况下,作出圆与(1)中所作圆大小相等,∴折断部分为BE,∵∠AOB=18°,OA=OB,∠ODA=90°,∴∠OAB=81°,∠OAD=72°,∴∠BAD=9°,

∴BE=2BD=2AB·s

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