第四章 §4.10　解三角形及其应用举例.docx

§4.10解三角形及其应用举例

课标要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

测量中的几个有关术语

术语名称

术语意义

图形表示

仰角与俯角

在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角

方位角

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ360°

方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α

例：

坡角与坡比

坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i=?l=tan

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)西南方向与南偏西45°方向相同.(√)

(2)仰角和俯角都是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为0，π2.(×

(3)方位角是从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角.(√)

(4)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α+β=180°.(×)

2.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B()

A.北偏东10°方向 B.北偏西10°方向

C.南偏东80°方向 D.南偏西80°方向

答案D

解析由题可知，∠CAB=∠CBA=40°，

又∠BCD=60°，所以∠CBD=30°，

所以∠DBA=10°，

因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向.

3.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC=BC=1km，且C=120°，则A，B两点间的距离为km.?

答案3

解析在△ABC中，易得A=30°，

由正弦定理ABsinC=

得AB=BCsinCsinA=2×1×32=

4.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD=15°，∠CBD=30°，CD=102m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB=.?

答案20m

解析在△BCD中，∠BCD=15°，∠CBD=30°，CD=102m，

由正弦定理CDsin∠CBD=

可得102sin30°=

可得CB=202×22=20(m

在Rt△ABC中，∠ACB=45°，

所以塔高AB=CB=20m.

1.对于立体测量问题，通常要转化为两类平面问题，一是竖直放置的平面，通常要解直角三角形；另一类是水平放置的平面，通常要解斜三角形.

2.谨防两个易误点

(1)注意仰角与俯角是相对水平视线而言的，是在铅垂面上所成的角；

(2)明确方位角及方向角的含义，避免因混淆概念而出错.

题型一测量距离问题

例1(1)(2024·厦门模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()

A.102海里 B.103海里

C.202海里 D.203海里

答案A

解析依题意，如图，在△ABC中，∠BAC=70°-40°=30°，∠ABC=40°+65°=105°，则∠ACB=45°，

AB=40×3060=20

由正弦定理得BCsin∠BAC=

即BCsin30°=20

因此BC=20×12

所以B，C两点间的距离是102海里.

(2)在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为α=45°，β=45°，γ=30°，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，测得AD=30米，BC=200(3-1)米，EB=20米，估计隧道DE的长度为()

A.2002米 B.300米

C.350米 D.400米

答案C

解析如图所示，

∵α=β=45°，

∴∠APB=90°，∠PAB=∠PBA=45°，

∴△PAB为等腰直角三角形，

∴在△PBC中，∠PCB=30°，∠BPC=15°，BC=200(3-1)，

由正弦定理知

PB=BC·sin∠PCBsin∠BPC=

∴AB=2PB=400，

∴DE=AB-AD-EB=400-30-20=350.

思维升华距离问题的解题策略

选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.

跟踪训练1(2024·运城模拟)如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D.已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20