第五章 §5.1 平面向量的概念及线性运算.docx
第五章
§5.1平面向量的概念及线性运算
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.化简AB+BD-AC-CD等于()
A.AD B.0 C.BC D.DA
2.已知点P为△OAB所在平面内一点，且OP=OA+AB|AB|，则
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的延长线上
C.点P在线段AB的反向延长线上
D.点P在射线AB上
3.(2024·安阳模拟)已知矩形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若DE=λAB+μAD(λ，μ为实数)，则λ2-μ2等于()
A.-12 B.
C.3-222 D
4.(2025·焦作模拟)已知△ABC所在平面内一点D满足DA+DB+12DC=0，则△ABC的面积是△ABD面积的(
A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.下列说法正确的是()
A.若a，b是共线的单位向量，则a=b
B.若a，b是相反向量，则|a|=|b|
C.若a+b=0，则向量a，b共线
D.设λ，μ为实数，若λa=μb，则a与b共线
6.(2025·遵义模拟)在平行四边形ABCD中，设AQ=λAB+μAD，其中λ，μ∈[0，1]，则下列命题是真命题的是()
A.当λ=μ=12时，点Q为AC
B.当λ=1时，点Q在线段DC上
C.当点Q在线段AC上时，λ=μ
D.当λ+μ=1时，点Q在对角线BD上
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知在四边形ABCD中，AB=12DC，且|AD|=|BC|，则四边形ABCD的形状是
8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且BC=3EC，F为AE的中点，若AB=a，AD=b，则BC=，BF=.(用向量a，b表示)?
四、解答题(共28分)
9.(13分)已知a，b不共线，OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，OE=e，设t∈R，如果3a=c，2b=d，e=t(a+b)，是否存在实数t，使得C，D，E三点在同一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.
10.(15分)如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE=23AD，AB=a，
(1)用a，b表示AE，BE；(7
(2)求证：B，E，F三点共线.(8分)
每小题5分，共10分
11.(2025·芜湖统考)如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设AM=xAB，AN=yAC(x，y∈R)，则x+4y的最小值为(
A.9 B.4 C.3 D.5
12.如图，已知A，B，C是圆O上不同的三点，CO与AB交于点D(点O与点D不重合)，若OC=λOA+μOB(λ，μ∈R)，则λ+μ的取值范围是.?
答案精析
1.B[AB＋BD－AC－CD＝AD－(
2.D[由OP＝
得OP－
所以AP＝1|
所以点P在射线AB上.]
3.A
[如图，在矩形ABCD中，DO＝12(
在△DAO中，
DE＝1
∴DE
＝3
＝14
∴λ＝14，μ＝－3
∴λ2－μ2＝116－9
4.A[设AB的中点为M，
因为DA＋DB＋
所以CD＝2(DA＋DB
所以CD＝4DM，
所以点D是线段CM上靠近点M的五等分点，所以S△ABCS
所以△ABC的面积是△ABD面积的5倍.]
5.BC[对于A，a，b是共线的单位向量，则a＝b或a＝－b，A错误；
对于B，若a，b是相反向量，
则|a|＝|b|，B正确；
对于C，a＋b＝0，即a＝－b，则向量a，b共线，C正确；
对于D，当λ＝μ＝0时，a与b不一定共线，故D错误.]
6.ACD[对于A，当λ＝μ＝12时，AQ＝12AB＋12AD＝
对于B，当λ＝1时，AQ＝AB＋μAD?μ
点Q在线段BC上，B错误；
对于C，点Q在线段AC上时，存在实数m使得AQ＝mAC＝mAB＋mAD，因此λ＝μ＝m，故C正确；
对于D，当λ＋μ＝1时，由AQ＝λAB＋μAD可知B，D，Q三点共线，故点Q在对角线BD上，D正确.]
7.等腰梯形
解析由AB＝
可得AB∥CD且AB＝12DC
所以四边形ABCD是梯形，
又因为|AD|＝|BC|，
所以梯形ABCD的两个腰相等，
所以四边形ABCD是等腰梯形.
8.－12a＋b－23a＋
解析∵AB∥CD，AB＝2DC，
∴BC
＝－AB
＝－1
＝－12a＋b
∵BC＝3EC，
∴BE
＝－13
又F为AE的中点，
∴BF＝
＝1
＝－23AB＋13AD＝－
9.解存在.由题设知，CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，又a与b不共线，则CD≠0，
C，D，E三点在同一条直线上的充要条件是存在实数k，