第五章 §5.1 平面向量的概念及线性运算.docx
§5.1平面向量的概念及线性运算
分值：100分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.化简AB+BD-AC-CD等于()
A.AD B.0 C.BC D.DA
2.(2025·沈阳模拟)已知a，b为两个不共线的向量，OA=a+b，OB=2a-b，OC=λa+μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则2λ+μ等于()
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(2024·西安模拟)已知点P是△ABC的重心，则AP等于()
A.16AB+16AC
C.23AC+13BC
4.已知点P为△OAB所在平面内一点，且OP=OA+AB|
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的延长线上
C.点P在线段AB的反向延长线上
D.点P在射线AB上
5.(2024·焦作模拟)已知△ABC所在平面内一点D满足DA+DB+12DC=0，则△ABC的面积是△
A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍
6.已知a是单位向量，向量b满足|a-b|=3，则|b|的最大值为()
A.2 B.4 C.3 D.1
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列说法正确的是()
A.若a与b是非零向量，则“a与b同向”是“a=b”的必要不充分条件
B.若AB与BC共线，则A，B，C三点在同一条直线上
C.a与b是非零向量，若a与b同向，则a与-b反向
D.设λ，μ为实数，若λa=μb，则a与b共线
8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且BC=3EC，F为AE的中点，则()
A.BC=-12AB+
B.AF=13AB
C.BF=-23AB+
D.CF=16AB
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知O为△ABC内一点，且2AO=OB+OC，AD=tAC，若B，O，D三点共线，则实数t的值为
10.已知在四边形ABCD中，AB=12DC，且|AD|=|BC|，则四边形ABCD的形状是
四、解答题(共27分)
11.(13分)已知a，b不共线，OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，OE=e，设t∈R，如果3a=c，2b=d，e=t(a+b)，是否存在实数t，使得C，D，E三点在同一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.
12.(14分)如图所示，在?ABCD中，BM=23BC，AN=14AB，
(1)试用向量a，b来表示DN，
(2)AM交DN于点O，若AO=λOM，求实数λ的值.(8分)
13题6分，14~16题每小题5分，共21分
13.(多选)已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且AP=AB+λAF，λ∈R，则下列说法正确的是()
A.△PCD的面积为定值 B.?λ∈R，使得|PC||PA|
C.∠CPD的取值范围是π6，π3 D.|
14.在△ABC中，点O满足BO=2OC，过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.设AM=1mAB，AN=1nAC，则m
A.3 B.1 C.316 D.
15.(2024·盐城模拟)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，CD上，且满足BE=EC，CD=2CF，则|AE+AF|=
16.如图，已知A，B，C是圆O上不同的三点，CO与AB交于点D(点O与点D不重合)，若OC=λOA+μOB(λ，μ∈R)，则λ+μ的取值范围是.?
答案精析
1.B2.D3.D
4.D[由OP=OA+AB|AB|，得OP-OA=AB|AB
所以点P在射线AB上.]
5.A[设AB的中点为M，
因为DA+DB+12DC=
所以CD
=2(DA+DB)，
所以CD=4DM
所以点D是线段CM上靠近点M的五等分点，
所以S△ABCS△
所以△ABC的面积是△ABD面积的5倍.]
6.B[方法一设OA=a，OB=b，因为|a-b|=3
即|OA-OB|=|BA|=3，即|AB|=3，
所以点B在以A为圆心，3为半径的圆上，
又a是单位向量，则|OA|=1，
故|OB|的最大值为|OA|+|AB|=1+3=4，即|b|的最大值为4.
方法二因为b=a-(a-b)，
所以|b|≤|a|+|a-b|=1+3=4，
所以|b|的最大值为4.]
7.ABC[根据向量的有关概念可知A，B，C正确，对于D，当λ=μ=0时，a与b不一定共线，故D错误.]
8.ABC[∵AB∥CD，AB=2DC，
∴BC=BA+AD+DC=-AB+AD+12AB=-12AB+
∵BC=3EC
∴BE=23BC=-1
∴AE=AB+BE
=AB+?
=23AB
又F为AE的中点，∴AF=12AE=13AB+
∴BF=BA+AF=-AB+13AB+13AD=-23
∴CF=