第四节　幂函数与二次函数.docx

第四节幂函数与二次函数

1.通过具体实例，理解幂函数的概念.

2.结合y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律

3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.

1.已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，2），则f（4）＝（）

A.2 B.2

C.22 D.4

解析：B设幂函数的解析式为f（x）＝xα，将（2，2）代入，得2α＝2，解得α＝12，所以f（x）＝x12，f（4）＝41

2.（2024·合肥一中模拟）若二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0），满足f（1）＝f（3），则下列不等式成立的是（）

A.f（1）＜f（4）＜f（2）

B.f（4）＜f（1）＜f（2）

C.f（4）＜f（2）＜f（1）

D.f（2）＜f（4）＜f（1）

解析：B因为f（1）＝f（3），所以二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2，又因为a＜0，所以f（4）＜f（3）＜f（2），又f（1）＝f（3），所以f（4）＜f（1）＜f（2）.故选B.

3.已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b∈R，a≠0），x∈R，若函数f（x）的最小值为f（－1）＝0，则f（x）＝.

答案：x2＋2x＋1

解析：设函数f（x）的解析式为f（x）＝a（x＋1）2＝ax2＋2ax＋a（a≠0），又f（x）＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，故f（x）＝x2＋2x＋1.

4.函数y＝x－3在区间[－2，0）上的值域为.

答案：（－∞，－18

解析：因为幂函数y＝x－3在区间[－2，0）上单调递减，所以当x＝－2时，函数取得最大值－18，又当x→0时，y→－∞，所以函数y＝x－3在区间[－2，0）上的值域为（－∞，－1

1.幂函数y＝xα在第一象限的两个重要结论

（1）恒过点（1，1）；

（2）当x∈（0，1）时，α越大，函数值越小；当x∈（1，＋∞）时，α越大，函数值越大.

2.二次函数在闭区间上的最值

设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），闭区间为[m，n]：

（1）当－b2a≤m时，最小值为f（m），最大值为f（

（2）当m＜－b2a≤m＋n2时，最小值为f－b

（3）当m＋n2＜－b2a≤n时，最小值为f－b

（4）当－b2a＞n时，最小值为f（n），最大值为f（m

1.函数y＝x12－1的图象大致是（

解析：A由结论1知，函数y＝x12的图象恒过点（1，1），则y＝x12－1的图象过点（1，0）

2.已知函数f（x）＝－2x2＋mx＋3（0≤m≤4，0≤x≤1）的最大值为4，则m＝.

答案：22

解析：f（x）＝－2x2＋mx＋3＝－2x－m42＋m28＋3，∵0≤m≤4，∴0≤m4≤1，由结论2可知，当x＝m4时，f（x）取得最大值，∴m28＋

幂函数的图象与性质

1.已知函数f（x）＝（m2－m－1）·xm2－2m－3是幂函数，且在（0，＋∞）

A.2 B.－1

C.4 D.2或－1

解析：A依幂函数定义，m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1，当m＝2时，f（x）＝x－3在（0，＋∞）上单调递减，当m＝－1时，f（x）＝x0＝1在（0，＋∞）上没有单调性，舍去.∴m＝2.

2.若幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y＝f（x）的大致图象是（）

解析：C设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），所以2＝4α，解得α＝12.所以y＝x，其定义域为[0，＋∞），且是增函数，当0＜x＜1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项，C正确

3.已知点（m，8）在幂函数f（x）＝（m－1）xn的图象上，设a＝f13，b＝f（lnπ），c＝f（2－12），则a，b，c

A.a＜c＜b B.a＜b＜c

C.b＜c＜a D.b＜a＜c

解析：A由于f（x）＝（m－1）xn为幂函数，所以m－1＝1，则m＝2，f（x）＝xn.又点（2，8）在函数f（x）＝xn的图象上，所以8＝2n，知n＝3，故f（x）＝x3，且在R上是增函数，又lnπ＞1＞2－12＝22＞13，所以f（lnπ）＞f（2－12）＞f

练后悟通

1.判断幂函数的图象（在第一象限内）

（1）在区间（0，1）上，幂函数的指数越大，函数图象越靠近x轴（简记：“指大图低”），在（1，＋∞）上，幂函数的指数越大，函数图象越远离x轴（简记：“指大图高”）；

（2）从函数曲线的形状上看：当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸.当α＜0时，幂函数的图象都经过点（1，1），在第一象限内，曲线下凸.

2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.

二次函数的解析式

【例1】（1）已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（1－x