高考数学新高考总复习课件第二章第四节二次函数与幂函数.pptx
第二章函数
第四节二次函数与幂函数
;学习要求:
1.通过具体实例,结合y=x,y=?,y=x2,y=?,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了
解幂函数.;1.二次函数
(1)二次函数的定义
形如①????f(x)=ax2+bx+c(a≠0)????的函数叫做二次函数.;(2)二次函数的三种表示形式
(i)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
(ii)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0);
(iii)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质;;顶点
坐标;2.幂函数
(1)幂函数的定义
形如⑦????y=xα????(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是⑧???自变量???,α为⑨???常数???.
(2)幂函数的性质
(i)当α0时,幂函数y=xα有下列性质:
a.图象都经过点⑩????(0,0)????、(1,1);
b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大.
(ii)当α0时,幂函数y=xα有下列性质:;a.图象都经过点?????(1,1)????;
b.在第一象限内,函数值随x的增大而减小.
(3)五种常见幂函数的图象;函数特征性质;1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“?”).
(1)函数y=2?是幂函数.?()
(2)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.()
(3)当n0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.?()
(4)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),x∈[m,n]的最值一定是?.?()
(5)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),x∈R不可能是偶函数.?();2.(新教材人教A版必修第一册P91T1改编)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点
?,则k+α=?()
A.?????B.1
C.?????D.2;4.若f(x)=ax2-(2-a)x+1在区间?上为减函数,则a的取值范围是[0,1]????.;考点一幂函数的图象和性质;解析????因为幂函数y=xα的图象过点(2,8),所以2α=8,解得α=3,所以y=x3.函数y=x3
的图象过原点,所以A选项中说法正确;函数y=x3是奇函数,所以B选项中说法错
误;函数y=x3在R上递增,所以C选项中说法错误;函数y=x3值域为R,所以D选项中
说法正确.;2.已知幂函数y=?(p,q∈N*,q1且p,q互质)的图象如图所示,则?()
A.p,q均为奇数,且?1
B.q为偶数,p为奇数,且?1
C.q为奇数,p为偶数,且?1;解析????由幂函数的图象关于y轴对称,可知该函数为偶函数,所以p为偶数,则q
为奇数.因为幂函数y=?的图象在第一象限内向上凸起,且在(0,+∞)上单调递
增,所以0?1.;3.函数y=?的大致图象是?()
?;解析????由幂函数的性质可知,函数y=?的图象在(0,+∞)上单调递减,
故A、C错误;令f(x)=?=?,
所以x∈(-∞,0)∪(0,+∞).因为f(-x)=?=?=f(x),
所以函数y=?为偶函数,故D错误.故选B.;4.若a=?,b=?,c=?,则a,b,c的大小关系是?()
A.abc????B.cab
C.bca????D.bac;名师点评
(1)对于幂函数图象的掌握只要掌握住在第一象限内三条线把第一象限划分
为六个区域,即x=1,y=1,y=x所分区域.根据α0,0α1,α=1,α1确定位置后,其
余象限部分由奇偶性决定.
(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调
性进行比较.;考点二求二次函数的解析式;解析解法一:(利用“一般式”解题)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得?
解得?
所以二次函数f(x)=-4x2+4x+7.
解法二:(利用“顶点式”解题)设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).;因为f(2)=f(-1),所以抛物线的图象的对称轴为x=?=?,
所以m=?.
又函数有最大值8,所以n=8,
所以f(x)=a?+8.
因为f(2)=-1,
所以a?+8=-1,解得a=-4,
所以f(x)=-4?+8=-4x2+4x+7.;名师点评
求二次函数的解析式,一般用待定系数法求解,其关键是根据已知条件恰当地
选择二次函数解析式的形式,一般选择规律如下:
?;
已知g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,且f(x)+g(x)为奇函数,当x∈[-1,2]时,f(x)的最
小值为1,则函数f(x)的解析式为????f(x)=x2+3x+3或f(x)=x2-2?x+3????.;解析易知g(x)=-x2-3是二次函数,且为偶函数.设函数f(x)的解析式为f(x