2026版步步高大一轮高考数学复习第二章 函数第6节 幂函数与二次函数含答案.DOCX
2026版步步高大一轮高考数学复习第二章函数第6节幂函数与二次函数第6节幂函数与二次函数
考试要求1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up6(\f(1,2))，y＝eq\f(1,x)的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
【知识梳理】
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
3.二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a0)
y＝ax2＋bx＋c(a0)
图象(抛物线)
定义域
R
值域
eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
对称轴
x＝－eq\f(b,2a)
顶点坐标
eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是减函数；
在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函数
在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数；
在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是减函数
[常用结论与微点提醒]
1.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质；
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.
2.对勾函数y＝ax＋eq\f(b,x)(ab＞0)极值与图象的拐点可利用基本不等式求得.
3.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
4.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ0))时，恒有f(x)0；当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ0))时，恒有f(x)0.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2xeq\s\up6(\f(1,3))是幂函数.()
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0.()
(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定.()
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是eq\f(4ac－b2,4a).()
答案(1)×(2)√(3)×(4)×
解析(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，
故y＝2xeq\s\up6(\f(1,3))不是幂函数，故(1)错误.
(3)二次函数y＝x2－x与y＝2x2－2x零点相同，但解析式不同，故(3)错误.
(4)当对称轴x＝－eq\f(b,2a)?[m，n]时，最值则不是eq\f(4ac－b2,4a)，故(4)错误.
2.若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是()
答案C
解析设幂函数的解析式为y＝xα，
因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，
所以2＝4α，解得α＝eq\f(1,2)，
所以y＝eq\r(x)，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，
当0＜x＜1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项知C正确.
3.已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为________.
答案f(x)＝x2－4x
解析由题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a＞0)，
又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，
所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x.
4.若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上单调，则实数k的取值范围为_____