第08讲 正方形的性质和判定-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（苏科版）.docx
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第08讲正方形的性质和判定
知识点1：正方形的概念与性质
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）
知识点2：正方形的判定
※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；
邻边相等的矩形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形。
注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：
考点剖析
考点1：正方形的概念和性质
【典例1】（2021秋?萧县期末）矩形，菱形，正方形不同时具有的性质是（）
A．对边平行且相等
B．对角相等
C．对角线互相平分
D．每条对角线平分一组对角
【变式1-1】（2022春?双台子区期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等
【变式1-2】（2020秋?罗湖区校级期末）下列说法正确的是（）
A．矩形的对角线相等垂直 B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线相等 D．菱形的四个角都是直角
【典例2】（2022春?溆浦县期中）一个正方形的面积为8m2，则它的对角线长为（）
A．2cm B．2cm C．4cm D．3cm
【变式2-1】（2022秋?临淄区期末）如图，小明用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，他先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝1cm，接着把活动学具做成图2所示的正方形，则图2中对角线AC的长为（）
A．cm B．2cm C．3cm D．4cm
【变式2-2】（2022春?涿州市期末）如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为（）
A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）
【变式2-3】（2022春?乌拉特前旗期末）如图，四边形ABCD是边长为10的正方形，点E在正方形内，且AE⊥BE，又BE＝8，则阴影部分的面积是（）
A．76 B．24 C．48 D．88
考点2：正方形的判定
【典例3】（2022秋?莱西市期末）下列说法错误的是（）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线垂互相平分且垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
【变式3-1】（2022秋?金水区校级期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有（）
①当AB＝DC时，它是菱形；
②当AC⊥BD时，它是菱形；
③当∠ABC＝90°时，它是矩形；
④当AC＝BD时，它是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3-2】（2022秋?济阳区期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（）
A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD
【变式3-3】（2022春?卫辉市期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形，你认为正确的是（）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【典例4】（2021秋?平远县期末）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（2）当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形．
【变式4-1】（2022秋?郓城县期中）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．求证：矩形ABCD为正方形．
【变式4-2】（2022春?宽城区期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
（1）求证：△ABF≌△DAE．
（2）求证：四边形ABCD是正方形．
【变式4-3】（2022秋?二七区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当∠BAC＝°时，四边形ADCE是一个正方形，并说明理由．
考点3：正方形的性质与判定综合
【典例5】（2022春?临沭县期末）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一