八年级正方形的性质与判定讲义.doc

正方形的性质与判定讲义 【知识点精讲】: 1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质 正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定 判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形． 的边长是正方形的对角线，则 ⑵如图，已知正方形的面积为，点在上，点在的延长线上，且，则的长为----------。 ⑶如图，在正方形中，为边的中点，，分别为边上的点，若，，，则长为 ． ☆将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 如图，为正方形对角线上一点，于，于.求证：. 是正方形内的一点，且为等边三角形，那么 例5正方形的边在正方形的边上，连接，求证：. 中，是对角线的交点，过点作，分别交于，若，则 如图所示，是正方形，为上的一点，四边形恰好是一个菱形，则______. 如图，在正方形中，、分别是、的中点，求证：． ，正方形ABCD，P是BO上任意一点，，垂足是Q，交AC于R，求证：． 【数学故事】: 三个农民住进一家旅店，关照店主给他们煮些土豆，然后，都去睡了。店主煮熟了土豆，没有叫醒他们，而是把一盆土豆放在桌上就走开了。一个农民醒了，看见桌上的土豆，他数了数，拿出三分之一，吃完后又睡了。过了一会儿，另一个农民醒了，他不知道已经有一个同伴吃掉了一份。 　　所以，他数了数盆里的土豆，吃了三分之一，又睡了。接着，第三个农民也醒来了，他以为他是第一个醒来的，数了数剩在盆里的土豆，吃了其中的三分之一。就在这时候，他的两个同伴也都睡醒了，看见盆里还剩八个土豆，于是，各人都把事情作了说明。请你计算一下，店主一共拿来多少个土豆?已经吃掉了多少土豆?每人还应该吃多少土豆，才能使三人吃的一样多? 　　第三个农民吃了自己的一份后，还留下八个，可见他醒来看到盆里有十二个土豆。这十二个，就是第二个醒来的农民留下的。现在，你就这样往前推算吧，很快就可以得到答案。 【当堂小测验】: 一、选择题 1、在线段、角、等边三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、等腰梯形这十种图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的共有 ( ) A.4种 B.5种 C.7种 D.8种 2、如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用、y表示小矩形的两边长(y)，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是 ( ) A．B． C．D．，则它的对角线的交点到它的边的距离为（ ） A、 B、 C、 D、 5、如图，正方形ABCD中，∠DAF=25°，AF交对角线于点E，那么∠BEC等于（ ） A、 45° B、60° C、70° D、75° 二、填空题 1、正方形的对称轴有＿＿＿条 2、如图1，正方形ABCD的边长为8cm，把对角线分成几段，以每一段对角线作正方形，设这几个小正方形的周长和为，则=_______. 3、如果一个正方形的对角线长为，那么它的面积＿＿＿＿＿＿。 4、如图，延长正方形ABCD的边AB到E，使BEAC，则E＝ °． 1、如图，在正方形ABCD内，以AB为边作等边三角形ΔABE，连接DE且延长交BG于G，求∠EGB的度数。 【快乐作业】: 1.如图正方形ABCD的周长为15cm , 则矩形EFCG的周长是__________。 2. 已知：如图，在正方形ABCD中，AC、BD交于点，延长CB到点F，使 BFBC，连结DF交AB于E．求证：( )BF(在括号中填人一个适当的常数，再证明)． 伟人所达到并保持着的高处，并不是一飞就到的，而是他们在同伴们都睡着的时候，一步步艰辛地向上攀爬的。 教师寄语：