若极限微积分上.pdf
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第六节广义积分
一、无穷限的广义积分(无穷积分)
定义(1)设f(x)在区间a,)上连续,ba,
b
若极限limaf(x)dx存在,则称广义
b→
积分a
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第二章极限与连续本章是微积分的基础，主要讨论函数的极限与函数的连续性。称为数列，记为其中称为数列的通项或一般项；正整数n称为的下标。例如：Def:无穷多个按自然数编号1,2,排列的一列数：数列是自变量取正整数n的函数(下标函数)数列极限概念的引入（圆的面积）正六边形的面积正十二边形的面积正边形的面积........................当n无限增大时,无限逼近S.(1)、割圆术：（刘徽割圆术）“一尺之棰，日截其半，万世不竭”01............02这是极限思想在几何学中的运用。这样的极限方法为微积分学中的一种基本方法。03............04(2)、截丈问题：数列极限
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极限（求值）
你应该先去阅读极限（入门）
简略重温极限
有时我们不能直接计算一个事物的值……可是我们可以去看看越来越接近它时的情形！
例子：
2
(x−1)
(x−1)
求x=1的值：
(12−1)(1−1)0
==
(1−1)(1−1)0
0/0不好做！没有人知道0/0是多少（它是不确定的），所以我们要另辟蹊径。
我们不直接求在x=1的值，我们趋近它来看看：
例子（续）：
2
(x−1)
x
(x−1)
0.51.50000
0.91.90000
0.991.99000
0.9991.99900
0.99991.99990
0.999991.99999
…………
现在我们看到当x越来越接近1
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微积分 第2章 极限与连续.ppt
例2 比较 x→0 时下列各无穷小量的阶： 1) sinx 与 x, tanx 与 x； 2)与 x； 4) 1-cos x 与 x2/2； 3)与 x (x→0+) ； ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1+x) ~ e x -1 x ~ sin x ~ tan x 1-cos x ~ x2/2； x→0 时常用等价无穷小量 等价 同阶 等价 要记 四、无穷小量等价代换 注: 1. 极限式的分子/分母如果为若干因子的乘积, 则对任意一个或几个无穷小因子做等价无穷小代换, 不改变极限值． 1) 若存在，则 定理 设 f(x), g(x) 是 x→X 时的等价无穷
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微积分-数列极限.ppt
§2.1数列极限第二章极限与连续本章是微积分的基础，主要讨论函数的极限与函数的连续性。Def:无穷多个按自然数编号1,2,排列的一列数：称为数列，记为其中称为数列的通项或一般项；正整数n称为的下标。例如：数列是自变量取正整数n的函数(下标函数)数列极限概念的引入（圆的面积）正六边形的面积正十二边形的面积正边形的面积........................当n无限增大时,无限逼近S.(1)、割圆术：（刘徽割圆术）1“一尺之棰，日截其半，万世不竭”2............4............3这是极限思想在几何学中的运用。这样的极限方法为微积分学中的一种基本方法。(2)、截丈问题：
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微积分-极限计算.ppt
微积分
第四节极限的计算
12
一、数列极限计算二、函数极限计算
一．单调有界准则(掌握例题和习题)一．一般极限计算
利用代入法、复合函数极限计算方法和极
二．夹逼定理(掌握例题和习题)限四则运算法则直接进行计算。
三．利用函数极限计算方法
河南财经政法大学数学与信息科学系廖扬
微积分
(二)未定式的计算
型
0型
0
：(1)上下同除最大项(抓大头)：(1)约零因子(基本方法)
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微积分—极限计算.ppt
第四节 极限的计算 (二)未定式的计算 (3) 等价无穷小代换(重点、难点) （5）罗比达法则 (6)三角变换(辅助方法) 例3 注2： 不为零，不可代换。 正解 例4 解 错 无法替换 注3：只换因子不换和差。 并不等价 例4 解 例1 〈Ⅳ〉解题技巧 技巧1：拆分、合并 例2 例3 技巧2：提取因子 〈Ⅰ〉使用方法 对于 型求极限问题，有 例1 例2 注1 罗比达法则可以反复使用 例1 例2 〈Ⅱ〉注意事项 注2：罗比达法则可能失效 例3 极限不存在 例3 可见，罗比达法则失效。 例4 求 解 原式 继续下去，陷入循环，罗必塔法则失效. 正解 注3：罗比达法则最后再用 例
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极限（正式定义）
请先阅读极限入门
趋近……
有时我们不能直接计算某个值……可是我们可以去看看逐渐接近它时的情形！
例子：
2
(x−1)
(x−1)
求x=1的值：
(12−1)(1−1)0
==
(1−1)(1−1)0
0/0不好做！没有人知道0/0是多少（它是不确定的），所以我们要另辟蹊径。
我们不直接求当x=1的值，我们趋近它来看看：
例子（续）：
2
(x−1)
x
(x−1)
0.51.50000
0.91.90000
0.991.99000
0.9991.99900
0.99991.99990
0.999991.99999
…………
现在我们看到当x越来越接近1的时候，(x2−1
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微积分 两个重要极限.pdf
1.4 两个重要极限
sin x sinx
1. lim 1 先证lim 1.
x →0 x x →0+ x
π
设单位圆 O, 圆心角AOB ∠x
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微积分（极限与连续）定稿.pdf
微积分
第二章 极限与连续
• 数列极限
• 函数极限
• 变量极限
• 无穷大与无穷小
• 极限的运算法则
• 两个重要的极限
• 函数的连续性
微积分
2.7 函数的连续
性
微积分
函数连续性的定义
函数的连续性描述函数的渐变性态,
在通常意义下，对函数连
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§1
0.1 {a } ??? f : Z+ → R, f (n) = a
n n
0.
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§1
De?nition f : Z+ → R
Note
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高数微积分-函数的极限;一、函数极限的定义
二、函数极限的性质
三、小结与思考判断题;一、函数极限的定义;1.自变量趋于有限值时函数的极限; 定义1 设函数 在点 的某一去心邻域内有定义.如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数 ，使得对于适合不等式 的一切 ，对应的函数值 都满足不等式 ，那么常数 就叫函数 当 时的极限，记作;;例1 证明;证;讨论单侧极限;左极限;;2.自变量趋于无穷大时函数的极限;另两种情形:;;;例5;二、函数极限的性质;定理(保号性);4.子列收敛性(函数
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2.2微积分——函数的极限.ppt
微 积 分 第二章 极限与连续 数列的极限 函数的极限 变量的极限 无穷大量与无穷小量 极限的运算法则 两个重要的极限 函数的连续性 2.2 函数极限 1. 自变量趋向无穷大时函数的极限 2.自变量趋向有限值时函数的极限 3.函数极限的性质 4. 小结 思考题 思考题解答 左极限存在, 右极限存在, 不存在. 一、填空题: 练 习 题 微积分 播放 通过上面演示实验的观察: 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. 1、定义： 2、另两种情形: 3、几何解释: 例1 证 1、定义： 2、几何解释: 注意： 例2 证 例3 证 例4 证 函数在点x=1处没有定义. 例5 证 O x0
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微积分中的极限与函数性质;目录;PART;;;课程目标;PART;;;无穷小量的定义;;PART;;;;;PART;;第二类间断点;;;PART;;;;;PART;若函数在某区间内任取两点$x_1,x_2$（$x_1x_2$），均有$f(x_1)leqf(x_2)$，则称函数在该区间内单调增加。;;拐点;根据函数的性质（如单调性、极值、凹凸性等），可以大致描绘出函数的图像。;PART;;;数值计算方法;THANKS
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1
第1页，共123页，星期日，2025年，2月5日
哪些主要的科学问题呢?
有四种主要类型的问题.
Archimedes
2
第2页，共123页，星期日，2025年，2月5日
第一类问题
已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在
任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为
时间的函数的公式，求速度和距离。
3
第3页，共123页，星期日，2025年，2月5日
第一类问题
困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在
变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运
动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所
用的时间都是0，而0/0是无意义的。但