微积分 两个重要极限.pdf
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1.4 两个重要极限
sin x sinx
1. lim 1 先证lim 1.
x →0 x x →0+ x
π
设单位圆 O, 圆心角AOB ∠x , 不妨设x (∈0, ),
2
过A 作单位圆的切线 ,得ΔOAC .
扇形OAB的圆心角为x , ΔOAB的高为BD ,
C
tan x, AC
sin于是有x, BDx AB 弧 , B
ΔOAB面积扇形OAB面积ΔOAC面积
x A
o D
1 1 1
sin
x 从而x x tan
2 2 2
1 1 cos x
⇒ ,
x x ∴sinx tan,
xsin x sin x
sin x
- sin 同乘- 1 - x得: - cos x
x
sin x 2 x x 2 x 2
0 故1 - 1 - cos x 2 sin 2( ) ,
x 2 2 2
2
x
Qlim 0,
+
x →0 2
sinx
由夹逼定理lim(1- ) 0,
x →0+ x
sinx
∴lim 1.
x →0+ x
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