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微积分 两个重要极限.pdf

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1.4 两个重要极限 sin x sinx 1. lim 1 先证lim 1. x →0 x x →0+ x π 设单位圆 O, 圆心角AOB ∠x , 不妨设x (∈0, ), 2 过A 作单位圆的切线 ,得ΔOAC . 扇形OAB的圆心角为x , ΔOAB的高为BD , C tan x, AC sin于是有x, BDx AB 弧 , B ΔOAB面积扇形OAB面积ΔOAC面积 x A o D 1 1 1 sin x 从而x x tan 2 2 2 1 1 cos x ⇒ , x x ∴sinx tan, xsin x sin x sin x - sin 同乘- 1 - x得: - cos x x sin x 2 x x 2 x 2 0 故1 - 1 - cos x 2 sin 2( ) , x 2 2 2 2 x Qlim 0, + x →0 2 sinx 由夹逼定理lim(1- ) 0, x →0+ x sinx ∴lim 1. x →0+ x
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