数列求和方法 (1).pptx

板块六数列微专题35数列求和的常用方法

考点要求目标要求考题统计数列求和理解数列求和方法，能准确计算数列和2020年新课标Ⅲ卷：解答题第17题考查错位相减法求和2021年：新课标Ⅰ卷：解答题第17题考查裂项相消法求和。新课标Ⅱ卷：填空题考查等比数列前n项和公式2022年：新课标Ⅰ卷：解答题第17题考查分组求和新课标Ⅱ卷：选择题考查等比数列求和公式的应用2023年：新课标Ⅰ卷：解答题第18题考查错位相减法新课标Ⅱ卷：填空题考查裂项相消求和。

考察特点总结与建议备考方向1.高频方法：错位相减、裂项相消、分组求和是三大重点，占考查次数的70%以上。2.创新趋势：数列求和与函数、不等式、数学文化等结合，凸显综合应用能力（如2023年新课标Ⅰ卷）。3.难度分布：全国卷解答题多位于第17题（中档题），独立命题省份可能提高难度（如浙江卷）。1.熟练掌握五大求和方法（公式法、裂项相消、错位相减、分组求和、倒序相加）。2.关注数列与其他知识的交叉应用（如放缩法证明不等式）。3.研究地方卷特色题型（如北京卷的开放性问题）。

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??核心精讲·题型突破

1、使用分组求和法的的策略数列{an}的特征求前n项和的方法数列{an}可以看作其他两个(或更多个)数列之和,即an=bn+cn分别求数列{bn},{cn}的前n项和,相加得解把奇数项和偶数项看作两个数列,分别求和,相加得解,往往需要分n为奇数和偶数进行讨论数列通项中含绝对值或通项中含有(－1)n先不考虑绝对值,求解数列从哪一项开始变号,把正数项和非正数项分开看作两个数列,分别求和(此时需考虑绝对值),相加得解

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2.裂项相消法求和的策略一般地,数列的通项公式为分式,且分子结构简单、分母为两个“结构相同”的式子相乘,求和时可以运用裂项相消法,其实质是把分式变形成两个式子之差的形式,累加可以消掉中间的项,达到求和的目的.常见的裂项形式

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3.错位相减法求和的策略一般地,如果数列{an}是公差为d(d≠0)的等差数列,{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列,求数列{anbn}的前n项和Sn时,可采用错位相减法,即错位相减法常用来求解通项公式为“等差×等比”形式的数列的前n项和,具体步骤如下:(1)写出前n项和的计算式Sn=a1b1+a2b2+…+anbn①;(2)等式两边同乘q,得qSn=a1b2+a2b3+…+anbn+1②;(3)①-②得,(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1,化简;(4)将上式两边同时除以(1-q)(这一步非常容易遗漏,尤其是(1-q)为负数的情况),得解

独立内化

?小组讨论

?师生对话

热点一分组求和已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，a2＝4，且Sn＋2－2Sn＋1＋Sn＝2.(1)证明：数列{an}是等差数列，并求{an}的通项公式；练1由Sn＋2－2Sn＋1＋Sn＝2得Sn＋2－Sn＋1－(Sn＋1－Sn)＝2，∴an＋2－an＋1＝2，又a2－a1＝4－2＝2，∴数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n.

(2)若等比数列{bn}满足b1＝1，b2＋b3＝0，求数列{an·bn}的前2n项和T2n.设等比数列{bn}的公比为q，q≠0，?

(2024·西安二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a6＝7，S6＝27.(1)求数列{an}的通项公式；练2设等差数列{an}的公差为d，∴数列{an}的通项公式为an＝2＋(n－1)×1＝n＋1.热点二裂项相消法求和

∵an＝n＋1，则an＋1＝n＋2，

热点三错位相减法求和练3当n＝1时，a1＝1，满足上式.∴an＝n(2n－1)＝2n2－n，根据等比数列{bn}的首项b1＝1，公比为2，可知bn＝2n－1.

∴Tn＝1·20＋3·21＋…＋(2n－1)·2n－1，2Tn＝1·21＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n.=1＋4(2n－1－1)－(2n－1)·2n=2·2n－(2n－1)·2n－3＝(3－2n)·2n－3.∴Tn＝(2n－3)2n＋3.

?(1)分组转化法(2)裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.其方法核心有两点：一是裂项，将一个式子分裂成两个式子差的形式；二是要能相消.(3)错位相减法;课后小结