数列求和的方法大盘点.doc

数列求和的方法 河北省河间市第四中学（062451） 张美丽 数列求和是数列这部分的又一重点，关于求和首先看数列通项公式的特征，然后采取适当的方法求和，如果题目中给出了数列的通项公式，那就直接分析其通项的特征而采取相应的方法即可；如果题目中没有给出，则需要先去求解通项公式，因此，在求和的时候，首先看或求数列的通项公式，下面我们把常见的方法总结一下： 公式法. 若从题目的特征可以判断出数列是等比或等差数列，则可以直接运用这两个数列的求和 公式去求即可. 例1：求数列的前n项和. 解析：= 点评：公式法求和是最基本的求和方法，这要求同学们熟练掌握等差和等比数列的前n 项和公式，等比数列一定要注意公比为1的情况. 分组求和法 如果题目给出的通项既不是等差也不是等比，但是可以分解为一个等差数列与一个等比 数列的和，则我们就可以采取分组的方法分别求和 例2：求下列数列的前n项和： 解析： 令当时，=n，当时， 令= 所以当时，，当时，+ 点评：这种方法的思路比较简单，但是解决这类题型的关键在于是否可以把题目给出的 通项分析出它固有的特征，从而采取合适的方法 三、并项求和法 如果从通项公式中没有发现明显的特征，有时候直接求是很难的，但是可以把数列中的 两项（甚至多项）相加运算后得到的新数列具有的特征（等差数列或等比数列），那么就 可以采用并项求和法对数列进行求和 例3:已知数列的通项公式，求它的前n项和. 解析： == 点评：这种方法和分组求和正好相反，但是也有一致的地方，那就是想办法寻找数列的特征 四、裂项相消法 若给出的数列是分式形式，且分子是常数，而分母是某两个整数乘积的形式，这样的题目则可以采取此法，将数列的通项公式分裂为两项之差，相加后再进行各项求和 例4：在数列中，，又，求数列的前n项和 解析： =， 数列的前n项和= 点评：这种方法的思路比较清晰，关键在于能否发现数列的通项公式具备这个特点，有时 候需要化简和变形 五、错位相减求和法 若给定的数列通项公式是由一个等差和一个等比数列的对应项的乘积组成的，则可以利用 此法对数列进行求和 例5：求数列（a为常数）的前n项和 解析：若，则=0；若，则= 若则= = ，当时，也成立 点评：在用此法的时候一定要注意对a的谈论 六、反序求和法： 将一个数列的倒数第k项（k=1，2，3，…，n）变为顺数第k项，然后将得到的新数列与 原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n项和公式的方法. 例6：求和 解析：而运用反序求和方法是比较好的想法， ①， ② ①+②得 点评：善于发现数列的特征，选取适当的方法解决 小结：解决数列求和问题时，应该注意以下几点： （1）直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推倒过程. （2）注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列，或转化为基本数列求和 （3）求一般数列的前n项和，无通法可循，我们要掌握某些特殊数列的前n项和的求法，触类旁通，举一反三.