第八章 成对数据的统计分析 章末题型归纳总结（解析版）.docx
第八章成对数据的统计分析
模块一：本章知识思维导图
模块二：典型例题
经典题型一：线性回归方程
经典题型二：非线性回归方程
经典题型三：独立性检验
经典题型四：统计的综合应用
模块三：数学思想方法
①分类讨论思想②转化与化归思想③特殊到一般思想
模块一：本章知识思维导图
模块二：典型例题
经典题型一：线性回归方程
例1．（2023·河南三门峡·高三统考期末）2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年.某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：
A区
B区
C区
D区
外来务工人数x/万
3
4
5
6
就地过年人数y/万
2.5
3
4
4.5
(1)请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y关于x的线性回归方程.
(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴.
①若该市E区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额；
②若A区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为p，，其中，该市政府对甲、乙两人的补贴总金额的期望不超过1400元，求p的取值范围.
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【解析】（1））由题，，，
，
，
，
所以相关系数，
因为y与x之间的相关系数近似为0.99，说明y与x之间的线性相关程度非常强，所以可用线性回归模型拟合y与x之间的关系.
，，
故y关于x的线性回归方程为.
（2）①将代入，得，
故估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额为（万元）.
②设甲、乙两人中选择就地过年的人数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，
，
，
.
所以，
所以，
由，得，
又，所以，
故p的取值范围为.
例2．（2023·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考阶段练习）新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献．某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如下：
研发投入x（亿元）
1
2
3
4
5
产品收益y（亿元）
3
7
9
10
11
(1)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高）
(2)求出y关于x的线性回归方程，并预测研发投入20（亿元）时产品的收益．
参考数据：，，．
附：相关系数公式：，回归直线方程的斜率，截距．
【解析】（1）∵，，，
∴，
∴该中医药企业的研发投入x与产品收益y具有较高的线性相关程度．
（2）∵，
，
∴．
∴y关于x的线性回归方程为，
将代入线性回归方程可得，，
∴预测研发投入20（亿元）时产品的收益为40.3（亿元）．
例3．（2023·全国·高二专题练习）共享汽车，是指许多人合用一辆车，即开车人对车辆只有使用权，而没有所有权，有点类似于在租车行业里的短时间的租车．它手续简便，打个电话或通过网上就可以预约订车．某市为了了解不同年龄的人对共享汽车的使用体验，随机选取了100名使用共享汽车的体验者，让他们根据体验效果进行评分．
(1)设消费者的年龄为x，对共享汽车的体验评分为y．若根据统计数据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，且年龄x的方差为，评分y的方差为．求y与x的相关系数r，并据此判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性强弱（当时，认为相关性强，否则认为相关性弱）．
(2)现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将列联表补充完整并判断是否有99.9%的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关．
好评
差评
合计
青年
16
中老年
12
合计
44
100
附：回归直线的斜率
相关系数
独立性检验中的，其中．
临界值表：
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
【解析】（1）因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以相关系数，
因为，所以可以判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性很强.
（2）根据题意可得列联表如下：
好评
差评
合计
青年
16
32
48
中老年
40
12
52
合计
56
44
100
因为，
所以有99.9%的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关.
例4．（2023·全国·高三专题练习）人工智能教育是将人工智能与传统教育相结合，借助人工智能和大数据技术打造的智能化教育生态.为了解我国人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到我国2015年－2020年人工智能教育市场规模统计图.如图所示，若用x表示年份代码(2015年用1表示，2016年用2表示，依次类推)，用y表示市场规模(单位：