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第八章 成对数据的统计分析 章末题型归纳总结(解析版).docx

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第八章成对数据的统计分析

模块一:本章知识思维导图

模块二:典型例题

经典题型一:线性回归方程

经典题型二:非线性回归方程

经典题型三:独立性检验

经典题型四:统计的综合应用

模块三:数学思想方法

①分类讨论思想②转化与化归思想③特殊到一般思想

模块一:本章知识思维导图

模块二:典型例题

经典题型一:线性回归方程

例1.(2023·河南三门峡·高三统考期末)2021年春节前,受疫情影响,各地鼓励外来务工人员选择就地过年.某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数(单位:万),得到如下表格:

A区

B区

C区

D区

外来务工人数x/万

3

4

5

6

就地过年人数y/万

2.5

3

4

4.5

(1)请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合,并求y关于x的线性回归方程.

(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴.

①若该市E区有2万名外来务工人员,根据(1)的结论估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额;

②若A区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为p,,其中,该市政府对甲、乙两人的补贴总金额的期望不超过1400元,求p的取值范围.

参考公式:相关系数,回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.

【解析】(1))由题,,,

所以相关系数,

因为y与x之间的相关系数近似为0.99,说明y与x之间的线性相关程度非常强,所以可用线性回归模型拟合y与x之间的关系.

,,

故y关于x的线性回归方程为.

(2)①将代入,得,

故估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额为(万元).

②设甲、乙两人中选择就地过年的人数为X,则X的所有可能取值为0,1,2,

.

所以,

所以,

由,得,

又,所以,

故p的取值范围为.

例2.(2023·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考阶段练习)新冠肺炎疫情发生以来,中医药全面参与疫情防控救治,做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟,得到研发投入x(亿元)与产品收益y(亿元)的数据统计如下:

研发投入x(亿元)

1

2

3

4

5

产品收益y(亿元)

3

7

9

10

11

(1)计算x,y的相关系数r,并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度?(若,则线性相关程度一般,若,则线性相关程度较高)

(2)求出y关于x的线性回归方程,并预测研发投入20(亿元)时产品的收益.

参考数据:,,.

附:相关系数公式:,回归直线方程的斜率,截距.

【解析】(1)∵,,,

∴,

∴该中医药企业的研发投入x与产品收益y具有较高的线性相关程度.

(2)∵,

∴.

∴y关于x的线性回归方程为,

将代入线性回归方程可得,,

∴预测研发投入20(亿元)时产品的收益为40.3(亿元).

例3.(2023·全国·高二专题练习)共享汽车,是指许多人合用一辆车,即开车人对车辆只有使用权,而没有所有权,有点类似于在租车行业里的短时间的租车.它手续简便,打个电话或通过网上就可以预约订车.某市为了了解不同年龄的人对共享汽车的使用体验,随机选取了100名使用共享汽车的体验者,让他们根据体验效果进行评分.

(1)设消费者的年龄为x,对共享汽车的体验评分为y.若根据统计数据,用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为,且年龄x的方差为,评分y的方差为.求y与x的相关系数r,并据此判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性强弱(当时,认为相关性强,否则认为相关性弱).

(2)现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”,评分划分为“好评”和“差评”,整理得到如下数据,请将列联表补充完整并判断是否有99.9%的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关.

好评

差评

合计

青年

16

中老年

12

合计

44

100

附:回归直线的斜率

相关系数

独立性检验中的,其中.

临界值表:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

【解析】(1)因为,所以,

因为,所以,

因为,所以,

所以相关系数,

因为,所以可以判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性很强.

(2)根据题意可得列联表如下:

好评

差评

合计

青年

16

32

48

中老年

40

12

52

合计

56

44

100

因为,

所以有99.9%的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关.

例4.(2023·全国·高三专题练习)人工智能教育是将人工智能与传统教育相结合,借助人工智能和大数据技术打造的智能化教育生态.为了解我国人工智能教育发展状况,通过中国互联网数据平台得到我国2015年-2020年人工智能教育市场规模统计图.如图所示,若用x表示年份代码(2015年用1表示,2016年用2表示,依次类推),用y表示市场规模(单位:

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