2024-2025学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期中质量调研数学试卷（含答案）.docx
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2024-2025学年华东师范大学第二附属中学高一下学期期中质量调研数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量m=(λ,1)，n=(?3,2?λ)，若m与n共线且反向，则实数λ的值为(????)
A.3 B.1 C.?1 D.?1或3
2.函数y=sinx?1x
A. B.
C. D.
3.若5π是函数y=sinnxcos100
A.2 B.3 C.4 D.5
4.在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a2=b2+c2+bc,sinC=2sinB，M1
A.d3d2d1 B.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.若α是第四象限角，则点Psinα,tanα在第
6.已知点P(?3,4)是角α的终边上一点，则sinπ2+α=
7.已知扇形的周长为8，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为??????????．
8.已知A(1,3),B(4,?1)，求与向量AB方向相同的单位向量为??????????．
9.若平面向量a，b，c两两的夹角为120°，且|a|=|b|=1，|
10.已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为6，当该扇形面积最大时，其圆心角为α，则coscos2025πα
11.已知sinA1+sinA2
12.已知定义在(?π2,π2)上的函数f(x)=x
13.已知?ABC中，AB=AC=4，∠BAC=23π，点D在线段BC上，且S?ACD
14.如图，在半径为3的圆O中，弦BC所对的圆周角∠BAC=π3，且AB+AC=36，则图中阴影部分的面积为??????????
15.已知函数f(x)=sin4x?cos4x(0≤x≤2π)，则关于
16.已知e1,e2为单位向量，设向量a=3e1+e2,b=
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知α∈0,π，β∈0,
(1)分别求cos(β?α)和sin
(2)求cosβ的值．
18.(本小题14分
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知e1，e2是两个夹角为60°的单位向量，OA
(1)求OA，AB；
(2)设OC=te1，是否存在实数t，使得?ABC是以AB
19.(本小题14分)
如图，已知??ABC是边长为2的正三角形．如图P1?
(1)若M为线段AP1上一点，且AM→
(2)若N为线段AP2上的动点，求NA
20.(本小题14分)
我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点T，该点T即称为托里拆利点(以下简称“T点”).通过研究发现三角形中的“T点”满足到三角形三个顶点的距离和TA+TB+TC最小.当?ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为“T点”；当?ABC有一个内角大于或等于120°
(1)若3
①求A；
②若bc=4，设点P为?ABC的“T点”，求PA
(2)若acosB?bcosA=c，设P点为?ABC的“T点”，
21.(本小题14分)
定义在R上的函数y=f(x)，若存在实数a,b,c使得af(x)+bf(x?c)=1对任意的实数x恒成立，则称函数y=f(x)为“L(a,b,c)函数”；
(1)已知y=x+1，判断它是否为“L(1,b,c)函数”；
(2)若函数y=f(x)是“L(1,1,2)函数”，当x∈[0,2]，f(x)=sinπ4
(3)判断函数y=2sinx+cosx+1是否为“L(a,b,c)函数”，若是，求所有符合条件的
参考答案
1.A?
2.A?
3.C?
4.C?
5.三?
6.?3
7.2?
8.35
9.2?
10.1+sin1/
11.1?
12.(4
13.8?
14.3π
15.8?
16.[20
17.解：(1)因为α∈0,π
所以(β?α)∈?π
(β?α)∈0,π
因为(α+β)∈0,3
则(α+β)∈0,π
(2)因为2β=(α+β)+(β?α)；
所以cos
=
=3
因为cos2β=2
则得cos2
因β∈0,π
18.解：(1)因为e1，e2是两个夹角为
所以e1=e
又OA=e1
所以OA
=
又AB=
所以AB=
(2)因为AC=OC?
若?ABC是以AB为斜边的直角三角形，则AC
即AC?
可得(t?1)(t?5)e
即(t?1)(t?5)+3?2(t?4)=0，化简得t2?8t+16=0，解得
所以存在t=4满足条件．
19.解：(1