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77.极限与洛必达法则
洛必达法则是高等数学里一个非常重要的内容，它的主要作用在于计算函数的极限.在高中阶段的函数题目中，也会常见洛必达法则的身影，特别是在分离参数之后.本节，首先介绍洛必达法则的基本概念，然后我将展示两类洛必达法则视角下的函数命题：端点效应和参数分离.
一.基本命题原理
1.数列极限与stolz定理
（1）（型）设数列满足:
(i)严格单调递增；(ii)；(iii)()
则
（2）（型）设数列满足:
（i）严格单调递减且趋于零；（ii）；（iii）()则
2下面为洛必达法则
2.1零比零（）型，即趋向于某数时，分子、分母趋向于零.
若函数和满足下列条件：
（1）；
（2）在点的某去心邻域内两者都可导，且；
（3）且(可为实数，也可为)，那么：
.
2.2无穷比无穷（）型，即趋向于某数时，分子、分母趋向于无穷.
若函数和满足下列条件：
（1）；
（2）在点的某去心邻域内两者都可导，且；
（3）且(可为实数，也可为)，那么：
.
2.3洛必达法则的应用：
（1）若，令，此时，故，故当时，恒成立.
（2）若恒成立，令，此时，故，故当时恒成立.
二．典例分析
例1．我们把分子?分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子?分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（????）
A． B． C．1 D．2
解析：由题意得，故选：B
例2.（2010新课标理改）设函数对恒成立，求实数的取值范围.
分析：，属于类型，故可以利用洛必达法则求出的取值范围.
解析：由题意得：，令
由于，故.
下面再给出一道例题，它是从分析函数的极限值入手，构造出一道恒成立问题.
例3.已知函数
（1）若在时有极值，求函数的解析式；
（2）当时，，求的取值范围.
解析：（2）当时，，即.
①当时，；
②当时，等价于，也即.
记，，则.
记，，则，因此在上单调递增，且，所以；从而在上单调递增，所以.由洛必达法则有：limx→0g(x)=limx→0ex
即当时，，所以，即有.综上所述，当，时，成立.
通过上述两例可以看到，利用洛必达法则命制恒成立问题时，我们先可以通过找到一个函数，倘若能够确定函数在定义域上递增或者递减，再通过洛必达法则分析在的极限值从而找到函数的上界或者下界来命制恒成立.熟悉端点效应的读者应该会发现，其实这就是端点效应的基本原理.
下面我们来看一道与三角函数有关的恒成立问题命制手法，它的原理便是很经典的极限：.
例4.若不等式对于恒成立，求的取值范围？
解析：当时，原不等式等价于.记，
则
且时，，所以.因此在上单调递减.
，.所以.
例5．如图，将一个边长为的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间这一段，如此继续下去得到的曲线称为科克雪花曲线．将下面的图形依次记作
??
（1）求的周长；
（2）求所围成的面积；
（3）当时，计算周长和面积的极限，说明科克雪花曲线所围成的图形是“边长”无限增大而面积却有极限的图形．
解析：（1）设第个图形的边长为，边数为，的周长为????，自第个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的，数列是以为首项，为公比的等比数列，；自第个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的倍，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
，即的周长为.
（2）记所围成的面积为，则，当且时，，
，经检验：满足，.
（3），
，科克雪花曲线所围成的图形是“边长”无限增大而面积却有极限的图形.
例6．已知数列满足，且
（1）求数列的通项公式.
（2）设，其中e是自然对数的底数，求证：
（3）设为数列的前项和，实际上，数列存在“极限”，即为：存在一个确定的实数，使得对任意正实数都存在正整数满足当时，（可以证明唯一），称为数列的极限.试根据以上叙述求出数列的极限.
解析：（1）依题意，，，则，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
所以，又也符合上式，所以.
（2）由，
则，
由且仅当时等号成立，于是在上单调递增，故.设，则，
由，故且仅当时等号成立，于是在上单调递减，故，于是得证.
（3）由（2）知，整理得：，
于是对，，令，得，由题意，，即，
故，于是，且对也成立，于是对任意正实数也是一个确定的正实数，于是一定存在一个正整数，使得，于是当时，，
于是数列的极限.
例7．定义：若数列满足，存在实数，对任意，都有，则称数列有上界，是数列的一个上界，已知定理：单调递增有上界的数列收敛（即极限存在）.
（1）数列是否存在上界？若存在，试求其所有上界中的最小值；若不存在，请说明理由；
（2）若非负数列满足，（），求证：1是非负数列的一个上界，且数列的极限存在，并求其极限；