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§3.3 洛必达法则 问题: 本节讨论以下七种不定型的极限计算问题 : 注意: 这七种不定型中以 , 为基本不定型 , 其余五种都可化为这两种基本不定型 定理6 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 证 定义辅助函数 则有 注：定理中的条件 (3) 是重要的 例 解 例 计算下列极限 解 (1) (2) 说明： 利用洛必达法则要与其他的极限计算方法 结合起来使用 例 计算 解 原式 洛 洛 洛 例 计算 解 原式 洛 洛 整理 分子、分母 同除 x 例 计算 解 这是一个 型的不定型 , 但直接利用洛必达 法则计算比较繁琐 , 先利用等价代换简化问题 分子: 分母: 原极限 定理7 例 解 例5 解 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 解 例 计算 解 这是一个 型的不定型 . 设 利用洛必达法则 , 有 说明: 上例说明 , 无论正数μ有多大 , 当 时 , ex 的增长总比幂函数 xμ的增长快 例 计算 解 这是一个 型的不定型 , 利用洛必达法则 , 有 说明: (1) 上例说明: lnx 的增长总比幂函数 xμ慢 (2) 进一步可以证明: 对任意 μ 0 , k 0 , 有 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 . 步骤: 例 计算 解 洛 例 求极限 解 原极限 洛 例8 解 步骤: * 例 计算 解 这是 原极限 洛 步骤: 例9 解 例10 解 例11 解 4、洛必达法则在求数列极限中的应用 下面的定理说明 , 有些数列极限可转化为函数 极限来计算 如果 定理 对于数列 ( 或 ? ) 则有 ( 或 ? ) 例 计算极限 解 取 则 而 洛 所以 几点注意 (1). 洛必达法则虽然是“高等”的方法，但并不是万能的，初等的求极限的技巧和方法仍有用武之地。 下面两例就无法使用洛必达法则： (2)、求极限的主要问题是综合应用各种方法和技巧，尽可能以最简捷的步骤给出问题的答案。 切记：不能“炫耀武力”，一味求导。 (3)、每次使用洛必达法则之前和之后都要注意整理表达式，以便继续使用法则. 例 已知 f (x) 在 (-? , +? ) 内可导 , 且 求 c 的值 解 因为 ( 利用拉格朗日中值定理 ) (ξ介于 x-1与 x 之间 ) 知 c ? 0 又因 于是有 例 设函数 f (x) 具有二阶连续导数 , 且 f (a)=0 , 求 , 并证明 在 x = a 处连续 . 解 当 x ? a 时 , 洛 所以 又因 洛 所以 在 x = a 处连续