洛必达法则完全证明.doc
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洛必达法则完全证明
定理 1
lim f (x) lim g(x) 0 ,
x x x x
0 0
lim
x x
0
f ( x)
g ( x)
存在或为 ,则
f (x) f ( x)
lim = lim
x x x x
g (x) g ( x)
0 0
证明见经典教材。
定理 2 lim f (x) lim g (x) 0,
x x
lim
x x
0
f ( x)
g ( x)
存在或为 ,则
f (x) f ( x)
lim = lim
x x x x
g (x) g (x )
0 0
证明:
1
t
x 1
lim f (x) lim f ( ) 0
x t 0
t
,
1
x
t
1
lim g(x) lim g( ) 0
x t 0
t
,由定理 1
1 1 1 1
1 1
f ( ) f ( )( ) f ( )
t x
f x t t t t f x
( ) ( )
x 2 t
lim = lim lim lim lim
1 1 1 1
x t 0 t 0 t 0 x
g( x) g( ) g( )( ) g( ) g ( x)
2
t t t t
。
定理 3
lim f (x) lim g (x) ,
x x x x
0 0
lim
x x
0
f ( x)
g ( x)
存在或为 ,则
f (x) f ( x)
lim = lim
x x x x
g(x) g ( x)
0 0
1
证明:
f (x) g( x)
lim = lim
1
x x x x
g( x)
0 0
f (x)
,由定理 1
1 g ( x)
2
f (x) g(x) g (x) f (x) g (x )
2
lim = lim = lim lim(( ) )
0 0 0 0
1 f (x )
x x x x x x x x
g(x) g (x) f (x)
2
f ( x) f (x)
1) 设
lim
x x
0
f (x)
g( x)
存在且不为 0,则
f (x) f (x) g ( x)
2
lim lim( ) lim
x x x x x x
g (x) g( x) f ( x)
0 0 0
,
f (x) f ( x)
lim lim
x x g (x) x x g ( x)
0 0
2) 设
lim
x x
0
f (x)
g( x)
存在且为 0,设 k 0,则
f (x)
lim( k) 0
x x ( )
g x
0
有
f (x) f ( x)+kg( x)
lim( k)= lim
x x x x
g( x) g( x)
0 0
f (x),g (x) 是不同阶无穷大, f ( x)+ kg( x) 仍为无穷大,由 1)
f (x) f ( x)+ kg( x) f ( x)+kg ( x) f ( x)
lim( k)= lim = lim = lim( +k)
x x ( ) x x ( ) x x ( ) x x ( )
g x g x g x g x
0 0 0 0
f (x) f ( x)
lim = lim
x x x x
g( x) g ( x)
0 0
3) 设
f (x)
lim =
x x g x
( )
0
,则
g(x)
lim =0
x x f (x)
0
,由 2)得
g (x) g ( x)
lim = lim =0
x x ( ) x x ( )
f x f x
0 0
,
f ( x) f ( x)
lim = lim =
x x x x
g(x) g ( x)
0 0
综合 1)2)3)定理 3 证毕。
定理 4 lim f (x) lim g( x) ,
x x
lim
x x
0
f (x)
g ( x)
存在或为 ,则
f (x) f (x )
lim = lim
x x x x
g(x) g (x)
0 0
证明方法类似定理 2。
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