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洛必达法则完全证明.doc

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... ... 洛必达法则完全证明 定理 1 lim f (x) lim g(x) 0 , x x x x 0 0 lim x x 0 f ( x) g ( x) 存在或为 ,则 f (x) f ( x) lim = lim x x x x g (x) g ( x) 0 0 证明见经典教材。 定理 2 lim f (x) lim g (x) 0, x x lim x x 0 f ( x) g ( x) 存在或为 ,则 f (x) f ( x) lim = lim x x x x g (x) g (x ) 0 0 证明: 1 t x 1 lim f (x) lim f ( ) 0 x t 0 t , 1 x t 1 lim g(x) lim g( ) 0 x t 0 t ,由定理 1 1 1 1 1 1 1 f ( ) f ( )( ) f ( ) t x f x t t t t f x ( ) ( ) x 2 t lim = lim lim lim lim 1 1 1 1 x t 0 t 0 t 0 x g( x) g( ) g( )( ) g( ) g ( x) 2 t t t t 。 定理 3 lim f (x) lim g (x) , x x x x 0 0 lim x x 0 f ( x) g ( x) 存在或为 ,则 f (x) f ( x) lim = lim x x x x g(x) g ( x) 0 0 1 证明: f (x) g( x) lim = lim 1 x x x x g( x) 0 0 f (x) ,由定理 1 1 g ( x) 2 f (x) g(x) g (x) f (x) g (x ) 2 lim = lim = lim lim(( ) ) 0 0 0 0 1 f (x ) x x x x x x x x g(x) g (x) f (x) 2 f ( x) f (x) 1) 设 lim x x 0 f (x) g( x) 存在且不为 0,则 f (x) f (x) g ( x) 2 lim lim( ) lim x x x x x x g (x) g( x) f ( x) 0 0 0 , f (x) f ( x) lim lim x x g (x) x x g ( x) 0 0 2) 设 lim x x 0 f (x) g( x) 存在且为 0,设 k 0,则 f (x) lim( k) 0 x x ( ) g x 0 有 f (x) f ( x)+kg( x) lim( k)= lim x x x x g( x) g( x) 0 0 f (x),g (x) 是不同阶无穷大, f ( x)+ kg( x) 仍为无穷大,由 1) f (x) f ( x)+ kg( x) f ( x)+kg ( x) f ( x) lim( k)= lim = lim = lim( +k) x x ( ) x x ( ) x x ( ) x x ( ) g x g x g x g x 0 0 0 0 f (x) f ( x) lim = lim x x x x g( x) g ( x) 0 0 3) 设 f (x) lim = x x g x ( ) 0 ,则 g(x) lim =0 x x f (x) 0 ,由 2)得 g (x) g ( x) lim = lim =0 x x ( ) x x ( ) f x f x 0 0 , f ( x) f ( x) lim = lim = x x x x g(x) g ( x) 0 0 综合 1)2)3)定理 3 证毕。 定理 4 lim f (x) lim g( x) , x x lim x x 0 f (x) g ( x) 存在或为 ,则 f (x) f (x ) lim = lim x x x x g(x) g (x) 0 0 证明方法类似定理 2。
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