常微分方程期末复习提纲.pptx

1;定义(dìngyì)1:联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.;n阶微分方程的一般(yībān)形式为;1.如果(rúguǒ)方程;四微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)的解;1显式解与隐式解;2特解与通解(tōngjiě);注1:;3定解条件(tiáojiàn);五积分(jīfēn)曲线和方向场;2方向(fāngxiàng)场;第二章一阶微分方程的初等(chūděng)解法;;一、变量分离(fēnlí)方程的求解;;(I)形如;(II)形如;这就是变量(biànliàng)分离方程;作变量代换(dàihuàn)(坐标变换);解的步骤(bùzhòu):;注:上述解题方法和步骤适用于更一般(yībān)的方程类型.;§2.2线性方程(xiànxìnɡfānɡchénɡ)与常数变易法

;一阶线性微分方程(wēifēnfānɡchénɡ);一一阶线性微分方程的解法-----常数(chángshù)变易法;代入(1)得;形如;§2.3恰当(qiàdàng)方程与积分因子;一、恰当方程(fāngchéng)的定义及条件;;需考虑(kǎolǜ)的问题;二、恰当(qiàdàng)方程的求解;2分组凑微法(wēifǎ);第32页/共72页;;对一阶线性方程(xiànxìnɡfānɡchénɡ):;1定义(dìngyì);变成;此时求得积分(jīfēn)因子;第38页/共72页;3定理(dìnglǐ);第40页/共72页;§2.4一阶隐方程(fāngchéng)与参数表示;一阶隐式方程(fāngchéng);1形如;(I)若求得(4)的通解(tōngjiě)形式为;(III)若求得(4)的通解(tōngjiě)形式为;2形如;若求得(10)的通解(tōngjiě)形式为;1形如;两边(liǎngbiān)积分得;解的步骤(bùzhòu):;2形如;第三章

一阶微分方程的解的存在(cúnzài)定理;§3.1解的存在(cúnzài)唯一性定理与逐步逼近法

;一存在(cúnzài)唯一性定理;命题(mìngtí)1初值问题(3.1)等价于积分方程;二近似计算和误差(wùchā)估计;例1讨论初值问题;第58页/共72页;§3.2解的延拓

;1饱和(bǎohé)解及饱和(bǎohé)区间;2局部(júbù)李普希茨(Lipschitz)条件;3解的延拓定理(dìnglǐ);§3.3解对初值的连续性和可微性定理(dìnglǐ);一解对初值的连续性;初值问题;引理如果函数于某域D内连续，且关于y满足利普希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程的任

意两个解及,在它们的公共存在区间内成立着不

等式.其中为所考虑

区间内的某一值。;2定理(dìnglǐ)1(解对初值的连续依赖性定理(dìnglǐ));根据上面(shàngmiɑn)定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有:;二解对初值的可微性;1解对初值和参数的连续(liánxù)依赖定理;2解对初值和参数(cānshù)的连续性定理