微分方程与复习课k .ppt

例 11 求方程 解 设 原方程可化为 当p = 0时，y = C是方程的解，当p ? 0时，有 积分得 例 13 求方程 解 不难求出特征根为1，6，对应的齐次方程的 可以判断出其特解为 代入初始条件解得 通解为 * * 微分方程 复习课 基本概念 一阶方程 类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.线性方程 6.伯努利方程 可降阶方程 线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4 二阶常系数线性 方程解的结构 特征方程的根 及其对应项 f(x)的形式及其 特解形式 高阶方程 待定系数法 特征方程法 一、主要内容 1、基本概念 微分方程　凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程． 微分方程的阶　微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶． 微分方程的解　代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解． 一、主要内容 通解　如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解． 特解　确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解． 初始条件　用来确定任意常数的条件. 初值问题　求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题． 2、一阶微分方程及其解法 (1) 可分离变量的微分方程 解法 (2) 齐次型方程 解法 (分离变量法) (变量代换法) (3) 一阶线性微分方程 齐次． 非齐次. 解法 齐次方程的通解为 （使用分离变量法） 非齐次微分方程的通解为 （常数变易法） (4) 伯努利(Bernoulli)方程 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 解法 利用变量代换法化为线性微分方程． 变量代换是解微分方程的重要思想和重要方法 1、可降阶的高阶微分方程的解法 型 解法 接连积分n次，得通解． 型 特点 解法 代入原方程, 得 型 特点 解法 代入原方程, 得 2、线性微分方程解的结构 （1）　二阶齐次方程解的结构: （2）二阶非齐次线性方程的解的结构: 非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解 非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解 3、二阶常系数齐次线性方程解法 n阶常系数线性微分方程 二阶常系数齐次线性方程 二阶常系数非齐次线性方程 解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法. 特征方程为 推广： 阶常系数齐次线性方程解法 特征方程为 特征方程的根 通解中的对应项 4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法 二阶常系数非齐次线性方程 解法　待定系数法. (一)、选择题 B 1.满足 2.设函数y1, y2 都是方程 的解， 是此方程通解。则必有[ ]. D 3.微分方程 的特解形式是[ ]. (A) (B) (C) (D) D C 4.满足 5.设线性无关的函数y1, y2 , y3都是方程 的解， 为任意常数，则其通解为[ ]. C 6.以 为特解的三阶常系数 的齐次线性微分方程是[ ]. (A) (B) (C) (D) D 8.若 y= f(x) 是 (A) x0的某邻域内单调增加； (B) x0的某邻域内单调减少； (C) x0处取极小值； (D) x0处取极大值. C 7.微分方程 的一个特解是[ ]. (A) (B) (C) (D) B 9.设函数p(x)在 [a,+∞）连续非负， 如果微分方程 则必有[ ]. 的每一个解y(x)都满足 D (二)、填空题 1.微分方程 的通解是______ 2.微分方程 满足y(1)=1的一个特解是 _____ 3.微分方程 的通解是______ 4.微分方程 有两个解 则 5.以 为特解的最低阶常系数齐次线性 微分方程______ 切于该点的积分曲线 6.方程 7. y?? = x的经过点M (0,1), 且与直线 8.通解为 y = C1ex +C2e-2x 的最低阶的齐次线性方程 9.已知 是 例 1 求微分方程 记 两边积分得 解 分离变量得 三、典型例题 例 2 求微分方程 积分得 即原方程化为 解 设 的通解. 代入x = 1, y = 2，得 C= -1,于是积分曲线是 两边积分得 解 设u= xy, 则 du = yd x + xd y,于是 且过点（1，2）的积分曲线. 例 3 求满足方程 例 4 求 积分得 解 原方程化为 的通解. 例5 若y =ex是方程 这是一个一元线性非齐次