高中数学基本不等式教学教案.pdf

根本不等式

【课时安排】

3课时

【第一课时】

【教学目标】

1.知识与技能：学会推导并掌握根本不等式，理解个根本不等式的几何意义，并掌握

定理中的不等号“巳〃取等号的条件是：当且仅当两个数相等；

2.过程与方法：通过实例探究抽象根本不等式；

3.情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。

【教学重难点】

教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式疝〈冬的证

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明过程；

教学难点：根本不等式疝《胃等号成立条件。

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【教学过程】

一、课题导入。

根本不等式4ab^~的几何背景：

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如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中

国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，

代表中国人民热情好客。你能在个图案中找出一些相等关系或不等关

系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

二、讲授新课。

1.探究图形中的不等关系。

将图中的“风车〃抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角

形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为一片+廿。样，4个直角三角形的面积的和

是2ab,正方形的面积为由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得

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到了一个不等式：a~+b2ab

o

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，时有

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a+b-2ab。

2.得到结论：一般的，如果a/eR,那么+沙222。仇当且仅当。=〃时取=号)

3.思考证明：你能给出它的证明吗？

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证明：+b-2ab=(a-b)

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当aw。时,(a—人)20,当。=。时,(a-/?)=0,

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所以，(a-6)220,gp(«+b)2ab.

4.(1)从几何图形的面积关系认识根本不等式

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特别的，如果a0,b〉0,我们用分别代替a.b,可得abN2疝,

通常我们把上式写作：而W式(a〉0,b〉0)

(2)从不等式的性质推导根本不等式

用分析法证明：

要证巴心2a(1)

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只要证abN2〔〕

要证2［),只要证ab-0(3)

要证3〔〕，只要证1-)2

显然，4［)是成立的。当且仅当a=b时，4［)中的等号成立。

(3)理解根本不等式Q〈巴心的几何意义

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在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,

BC=bo过点C作垂直于AB的弦DE,连接A