高中数学基本不等式的解法十例.doc

高中数学基本不等式问题求解十例 一、基本不等式的基础形式 1．，其中，当且仅当时等号成立。 2．，其中，当且仅当时等号成立。 3．常考不等式：，其中，当且仅当时等号成立。 二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路： （1）积定和最小：若是定值，那么当且仅当时，。其中 （2）和定积最大：若是定值，那么当且仅当时，，其中。 例题1：若实数满足，则的最大值是 ． 解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得：，当且仅当时取等号。 变式：函数的图象恒过定点A，若点在直线上，则的最大值为______。 解析：由题意可得函数图像恒过定点，将点代入直线方程中可得，明显，和为定，根据和定积最大法则可得：，当且仅当时取等号。 例题2：已知函数，则取最小值时对应的的值为__________． 解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得：，当且仅当时取等号。 变式：已知，则的最小值为 。 解析：由题意可得，明显，积为定，根据和定积最大法则可得：，当且仅当时取等号，此时可得。 例题3：若对任意x0，eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是________． 解析：分式形式的不等式，可以考虑采用常数分离的方法。 解法1：将化简可得，观察分母，很明显可以得到积为定值，根据积定和最小的法则可得：，当且仅当时取等号。故而可得分式的分母，因此可得：。 解法2：将化简可得，令，这是一个对勾函数，故而可得。故而分母，代入分式函数取倒数可得因此可得：。 问题2：“1”的代换 解题思路：根据，对所求内容进行乘除化简即可。 例题4：若两个正实数x、y满足 ，且不等式有解，则实数m的取值范围是 。 解析：由题意可得，左边乘以可得：，化简可得： ，很明显中积为定值，根据积定和最小的法则可得：，当且仅当时取等号。故而可得。不等式有解，亦即，亦即，解得或者，故而可得。 变式：若， ，且，则的最小值为__________． 解析：由，化简题干条件可得乘以所求内容可得：，化简后可得： ，很明显中二者积为定值，根据积定和最小法则可得，当且仅当，亦即时取等号。此时可得。 问题3：方程中的基本不等式 解题思路：将需要利用不等式的项移到方程的一边，利用基本不等式求解即可。 例题5：（2015·湖南高考）若实数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，则ab的最小值为__________． 解析：由题意可知可以利用基本不等式，根据基本不等式可得：，当且仅当时取等号，化简后可得：，此时 变式：若lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，则xy的最小值为__________． 解析：将题干条件化简可得：，由题意需要求解，故而可知利用不等式，将条件化简可得：当且仅当时等号成立，化简上式可得，此时 问题4：含参基本不等式问题 解题思路：利用含参不等式的解法求解即可。 例题6：已知对于任意的恒成立，则（ ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最大值为4 解析：由题意可知参数为，将自变量移项可得：，观察等式右侧，可知等式右侧经配凑可得积为定值，根据积定和最小可得：，当且仅当时取等号，此时可得。由对于任意的恒成立可得：，化简可得，解得。 变式6：已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的取值范围是 。 解析：由题意可知参数为m，将双自变量、移项可得：恒成立，故而可得，将不等式右侧化简可得，很明显积为定值，根据积定和最小法则可得：，当且仅当时取等号。故而，代入不等式中可得化简为解不等式可得。 问题5：不等式与其他问题结合 （向量与不等式）例题7：已知，且三点在同一条直线上，则的最小值为_________． 解析：由三点共线可得，观察形式采用“1”的代换，故而，等式右侧积为定值，故而利用积定和最小法则可得：，当且仅当时取等号。故而可得。 （不等式与解析几何）例题8：若直线（， ）被圆截得的弦长为4，则的最小值为 。 解析：将圆化为标准方程可得，根据弦长为4可得直线经过圆心。将圆心代入直线方程可得。观察求解形式可得采用“1”的代换方法，即，化简可得很明显积为定，根据积定和最小法则可得：，当且仅当时取等号，故而可得。 （基本不等式与线性规划）例题9：设满足条件，若目标函数（）的最大值为12，则的最小值为 。 解析：作出可行域如图所示：故而可得在点取最大值，即 ，由题意可得采用“1”的代换求解。 即，观察分子可得分子积为定值，根据积定和最小法则可得：，当且仅当时取等号，故而可得。 （不等式与解三角形）例题7：ΔABC中，角A，B，C的对边分别为 （1）求角A的大小； （2）若a=3，求SΔABC的最大值. （3）求周长的最值。